Ayotoghono Koshe Dekhi 4 Madhyamik Mathematics Solution WBBSE । সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে দেখি ৪

এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Ayotoghono Koshe Dekhi 4 নিয়ে এসেছি। Class 10 Ayotoghono Koshe Dekhi 4 Answer solve | Class X Ayotoghono Koshe Dekhi 4 | মাধ্যমিক গণিতের চতুর্থ অধ্যায় সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে দেখি ৪ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।

সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন

Rectangular Parallelepiped

কষে দেখি ৪

Ayotoghono Koshe Dekhi 4 Solution

1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনাকাকার বস্তুর নাম লিখি ।

Ans: 4 টি আয়তঘনাকার বস্তু হল – দেশলাই বাক্স, জুতোর বাক্স , আলমারি , মোবাইল BOX .

4 টি ঘনাকাকার বস্তু হল – লুডোর ছক্কা , সুগার কিউব , Rubik cube, Ice Cube

2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি , ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি ।

তল গুলির নাম – ABCD , EFGH, ABGF, CHED, AFED, BGHC .

ধার গুলির নাম- AB,BC,CD,DA,EF,FG,GH,HE,AF,GB,HC,ED.

শীর্ষবিন্দু গুলির নাম- A,B,C,D,E,F,G,H

3.একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য , প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5মিটার , 4 মিটার এবং 3 মিটার হলে , ঐ ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

সমাধান : ঐ ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তা ঘরের কর্ণের দৈর্ঘ্য-এর সমান হবে

সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য , প্রস্থ এবং উচতা যথাক্রমে 5 মিটার , 4 মিটার এবং 3 মিটার ।

l =5 , b=4, h=3

কর্ণের দৈর্ঘ্য,

`\sqrt{(l)^{2}+(b)^{2}+(c)^{2}}`

=`\sqrt{(5)^{2}+(4)^{2}+(3)^{2}}`

=`\sqrt{25+16+9}`

=`\sqrt{50}`

=`\sqrt{5×5×2}`

=`5\sqrt2`

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√2 মিটার

সুতরাং ঐ ঘরে সর্বাপেক্ষা 5√2 মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট দণ্ড রাখা যাবে ।

4.একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে , ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  ঘনকের একটি তল অর্থাৎ একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 64 বর্গ মিটার

∴ ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = `sqrt\64` মিটার = 8 মিটার

∴ ঘনকটির আয়তন =`(8)^{3}`ঘনমিটার = 512 ঘনমিটার ।

5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া ও 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে । যদি মোট 240 ঘনমিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালতি কত লম্বা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  খালের দৈর্ঘ্য = 2 মিটার

খালের প্রস্থ = 8 ডেসিমি. = 0.8 মিটার

ধরি খালটি X মিটার লম্বা

∴ খালটির আয়তন = 2 ×0.8 × X ঘনমিটার

শর্তানুসারে ,

2 ×0.8 ×X = 240

বা, X=`\frac{240}{2×0.8}`

বা, X=`\frac{\cancel240^{15}×10}{\cancel16}`

বা, x =150

সুতরাং খালটি 150 মিটার লম্বা ছিল ।

6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি. হলে , ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি.

সুতরাং ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3  সেমি.

শর্তানুসারে ,

a√3 = 4√3

বা, a = 4

সুতরাং ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4  সেমি.

ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 6a² বর্গসেমি.

= 6×(4)² বর্গসেমি.

= 96 বর্গসেমি.

∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি.।

7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্য –এর সমষ্টি 60 সেমি. হলে ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ঘনকের ধার সংখ্যা = 12 টি

ধরি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.

∴ 12a = 60

বা, a =`\frac{\cancel60^{5}}{\cancel12}`

বা, a= 5

∴ ঘনকটির ঘনফল = a³ = (5)³ = 125 ঘনসেমি.।

8. যদি একটি ঘনকের 6 টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গসেমি. হয় , তবে ঘনকটির আয়তন  হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.

∴ 6 টি পৃষ্ঠতলের সমষ্টি = 6a²  বর্গসেমি.

সুতরাং, 6a² = 216

বা, a² = `\frac{\cancel216^{36}}{\cancel6}`

বা, a² = 36

বা, a= √36

বা, a = 6

∴ ঘনকটির আয়তন

= a³ ঘনসেমি.

= (6)³ ঘনসেমি.

= 216 ঘনসেমি.

9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘনসেমি । তাকে সমান আয়তন বিশিষ্ট দুটি ঘনকে পরিনত করা হলে , প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ একটি সমকোণী চৌপল কে দুটি সমান আয়তন বিশিষ্ট ঘনকে বিভক্ত করা হয়েছে

∴ প্রতিটি ঘনকের আয়তন = `\frac{432}{2}` = 216 ঘনসেমি.

ধরি প্রতিটি ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.

∴ ঘনকের আয়তন = a³ ঘনসেমি.

সুতিরাং , a³ = 216

বা, a³ = (6)³

বা, a = 6

∴ ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = 6 সেমি.

10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল । মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কি হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  ধরি ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য  a একক

∴ ঘনকটির ঘনফল = a³ ঘনএকক

প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানো হলে, পরিবর্তিত ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য

`{a-(a×\frac{\cancel50}{\cancel100_{2}})}`

=a-`(a×\frac{a}{2})`

=`\frac{a}{2}`

পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল

`(\frac{a}{2})^{3}` ঘনএকক

= `\frac{a^{3}}{8}` ঘনএকক

সুতরাং মূল ঘনক  এবং পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত

=`a^{3}: \frac{a^{3}}{8}`

=8:1

∴মূল ঘনক এবং পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত 8:1 ।

11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য , প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি. হলে , বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  ধরি সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য = 3x সেমি. , প্রস্থ = 2xসেমি. এবং উচ্চতা = x সেমি.

∴ আয়তন

= দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা

= `3x ×2x ×x` ঘনসেমি.

= `6x^{3}` ঘনসেমি.

শর্তানুসারে ,

6x³ = 384

বা, `x^{3} = \frac{\cancel384^{64}}{\cancel6}`

বা, `x^{3}= 64`

বা, `x^{3}=(4)^{3}`

বা,` x `= 4 

∴ বাক্সটির দৈর্ঘ্য = 12 সেমি.

বাক্সটির প্রস্থ = 8 সেমি.

বাক্সটির উচ্চতা = 4সেমি.

বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(দৈর্ঘ্য× প্রস্থ + প্রস্থ × উচ্চতা +উচ্চতা × দৈর্ঘ্য )

= 2(12 × 8+8 × 4+4 × 12) বর্গসেমি.

= 352 বর্গসেমি.

∴ বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গসেমি.।

12. একটি চা- এর বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য , প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি. , 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি. । চা ভরতি বাক্সের ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম । কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সের ওজন 3.75 কিগ্রা হলে 1 ঘনডেসিমি. চা এর ওজন কত হবে হিসাব করি ।

সমাধানঃ  চা- এর বাক্সের ভেতরের দৈর্ঘ্য , প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি. , 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি. ।

∴ চা বাক্সের আয়তন= 7.5 × 6 × 5.4 ঘনডেসিমি. = 243 ঘনডেসিমি.

চা ভরতি বাক্সের ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম । কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সের ওজন 3.75 কিগ্রা.

∴ শুধু চা-এর ওজন = 52.350 কিগ্রা. – 3.75 কিগ্রা. = 48.60 কিগ্রা.

∴ 243 ঘনডেসিমি চা এর ওজন 48.60 কিগ্রা.

সুতরাং , 1 ঘন ডেসিমি. চা এর ওজন = 48.60/243  কিগ্রা. = 0.2 কিগ্রা. = 200 গ্রাম ।

13.একটি বর্গাকার ভূমি বিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি. , বেধ 1মিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম । যদি 1 ঘনসেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয় তাহলে x এর মাণ কত তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ বর্গাকার ভূমি বিশিষ্ট পিতলের প্লেটের আয়তন=

`x×x×\frac{1}{10}` ঘনসেমি.

= `\frac{x^{2}}{10}` ঘনসেমি.

আবার, 1 ঘনসেমি. পেতলের ওজন 8.4 কিগ্রা

∴ `\frac{x^{2}}{10}` ঘনসেমি. পেতলের ওজন `(8.4×\frac{x^{2}}{10})`

= `\frac{84x^{2}}{100}`

শর্তানুসারে ,

`\frac{84x^{2}}{100}=4725`

বা, `x^{2}=\frac{4725×100}{84}`

বা, x²= 5625

বা, x = `\sqrt{5625}`

বা, x = `\sqrt{(75×75)}`

বা, x = 75

∴ x এর মান 75 সেমি.।

14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে । তাই রাস্তার দুধারে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাতি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে । যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মিটার ও 8 মিটার হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লেগে থাকে তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি , প্রতিটি গর্তের গভীরতা x মিটার

∴ প্রতিটি আয়তঘনাকার গর্তের আয়তন

=দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা

= 14 × 8 × x ঘনমিটার

= 112x ঘনমিটার

∴ 30 টি গর্তের আয়তন

 = 30 × 112x ঘনমিটার

= 3360x ঘনমিটার

শর্তানুসারে ,

3360x = 2520

বা, x =`\frac{252\cancel0}{336\cancel0}`

বা, x = 0.75

সুতরাং প্রতিটি গর্তের গভীরতা = 0.75 মিটার = 75 সেমি.।

15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির 1/3 অংশ জলপূর্ণ থাকে । চৌবাচ্চাটির  একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  ঘনকাকৃতি জলপূর্ণ চৌবাচ্চাটির আয়তন

= 1.2 × 1.2 × 1.2 ঘন মিটার

= 1.728 ঘন মিটার

= 1728 ঘন ডেসিমি.

= 1728 লিটার

সমগ্র চৌবাচ্চাটির `\frac{1}{3}` অংশ

= `\frac{1}{3}` × 1.728 ঘনমিটার

= 0.576 ঘন মিটার

= 576 ঘন ডেসিমি

= 576 লিটার

চৌবাচ্চাটি থেকে তুলে নেওয়া জলের পরিমান

= 1728-576

= 1152 লিটার  

ধরি প্রতিটি বালতিতে জলধরে = x লিটার

∴ 64বালতিতে জল ধরে 64x লিটার

শর্তানুসারে ,

64x = 1152

বা, x= `\frac{\cancel1152^{18}}{\cancel64}`

বা, x= 18

∴ প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে ।

16. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটর দৈর্ঘ্য ,প্রস্থ ,উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি. , 1.5 ডেসিমি. এবং 0.9 ডেসিমি. হলে একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হিসাব করি । [ 1 গ্রোস = 12 ডজন ] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3.5 সেমি. হয় , তবে তার উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ধরি, প্রতিটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা = h সেমি.

∴ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন

= 5 × 3.5 × h ঘনসেমি.

এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য

=2.8 ডেসেমি.

= 28 সেমি.

প্রস্থ =   1.5 ডেসিমি. = 15 সেমি.

 উচ্চতা = 0.9 ডেসিমি. = 9 সেমি.

এখন 1 গ্রোস দেশলাই বাক্সের আয়তন

= 28 × 15 × 9 ঘনসেমি.

শর্তানুসারে,

5 × 3.5 × h × 12 × 12 = 28 × 15× 9   [যেহেতু 1 গ্রোস = 12 ডজন আবার 1 ডজন = 12 টি]

বা, h=`h=\frac{\cancel28^{\cancel7^{\cancel2}}×\cancel15^{3}×\cancel9^{\cancel3}}{\cancel5×\cancel3.5×\cancel12_{\cancel4_{2}}×\cancel12_{\cancel4}}`

h=`\frac{3}{2}`

বা, h = 1.5

∴ প্রতিটি দেশলাই বাক্সের আয়তন

 = 5×3.5×1.5 ঘনসেমি.

= 26.25 ঘনসেমি.

অর্থাৎ প্রতিটি দেশলাই বাক্সের আয়তন = 26.25 ঘনসেমি.

প্রতিটি দেশলাই বাক্সের উচ্চতা = 1.5 সেমি. ।

17. 2.1 মিটার দীর্ঘ , 1.5 মিটার প্রস্থ একটি আয়তঘনাকার  চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে । ঐ চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কত বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ   ধরি, আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলতল h ডেসিমিটার বৃদ্ধি পাবে

চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটার = 21 ডেসিমি.

চৌবাচ্চার প্রস্থ = 1.5 মিটার = 15 ডেসিমি.

এখন h ডেসিমিটার উচ্চতা বিশিষ্ট জলস্তম্ভের আয়তন

= 21 × 15 × h ঘনডেসিমি.

= 21 × 15 × h লিটার [ যেহেতু 1 ঘন ডেসিমি. = 1 লিটার

শর্তানুসারে ,

21 × 15 × h = 630

বা, h=`\frac{\cancel630^{\cancel42^{2}}}{\cancel15×\cancel21}`

বা, h = 2

∴ জলতল 2 ডেসিমি. বৃদ্ধি পাবে ।

18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার ও 15 মিটার । ঐ মাঠের ভিতরের চারিদিকে চারটি কোনে পিলার বসানোর জন্য  4 মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির ওপর ছড়িয়ে দেওয়া হল । মাঠের তলের উচ্চতা কততা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 4 টি ঘনকাকৃতি গর্ত থেকে উত্তলিত মাটির পরিমান

= 4 টি গর্তের আয়তন

= 4 ×(4)³ ঘনমিটার

= 256 ঘনমিটার

4 টি গর্ত বাদে মাঠের অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল

= {(20✕15) – 4(4)²} বর্গ মিটার

= (300- 64)বর্গ মিটার

= 236 বর্গমিটার

ধরি , মাঠের তলের উচ্চতা বৃদ্ধি পেল h মিটার

শর্তানুসারে ,

236 ✕ h = 256

বা, h = 256/236

বা, h = 64/59

বা, h = 1 পূর্ণ `\frac{5}{59}`

∴ মাঠের উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে = (1 পূর্ণ `\frac{5}{59}`)মিটার ।

19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে । গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি = 0.65 মিটার  উঁচু করার জন্য প্রয়োজনীয় মাটির পরিমাণ

= 48 × 31.5 × 0.65 ঘনমিটার

ধরি যে গর্ত থেকে মাটি তোলা হবে তার গভীরতা = h মিটার

এখন উত্তলিত মাটির পরিমান = 27 × 18.2 × h ঘনমিটার

শর্তানুসারে ,

48×31.5×0.65 = 27×18.2×h

h=`\frac{48×31.5×0.65}{27×18.2}`

বা, h = 2

সুতরাং গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে ।

20. বাড়ির 3 টি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার , 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল । ঐ তিনটি ড্রামের তেল একটি  আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হল  এবং এতে পাত্রের গভীরতা 7 ডেসিমি. হল । ঐ আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 হলে পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 3 টি ড্রামের মোট তেলের পরিমান

= (800 +725+575) লিটার

= 2100 লিটার

ধরি , আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য = 4x ডেসিমি. , প্রস্থ = 3x ডেসিমি.

জল ঢালার পর আয়তঘনাকার পাত্রের জলতলের উচ্চতা হয় 7 ডেসিমি.

এখন আয়তঘনাকার পাত্রের জলস্তম্ভের আয়তন

= `4x×3x×7` ঘনডেসিমি.

= 84x² ঘনডেসিমি.

= 84x² লিটার [ যেহেতু 1 ঘনডেসিমি. =1 লিটার ]

শর্তানুসারে ,

84x² = 2100

বা,x² =`\frac{2100}{84}`

বা, x² = √25

বা, x = 5

∴ পাত্রটির দৈর্ঘ্য = 4x= 20 ডেসিমি.

পাত্রটির প্রস্থ = 3x = 15 ডেসিমি.

এখন আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমি. হলে আয়তন হত

= 20×15×5 ঘনডেসিমি.

= 1500 ঘনডেসিমি.

= 1500 লিটার [যেহেতু 1 ঘনডেসিমি.=1 লিটার]

সুতরাং পাত্রটিতে সর্বাধিক 1500 লিটার জল ধরে

অর্থাৎ পাত্রটিতে 1620 লিটার জল কোনোভাবে রাখা সম্ভব নয় ।

21.আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার , 1050 লিটার এবং 950 লিটার । এই চাহিদা মেটানোর পরও 25 % জল মজুদ থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মিটার দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি ।

জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি বেশি হত তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হত হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ তিনটি পরিবারের দৈনিক মোট জলের চাহিদা

= (1200+1050+950) লিটার

= 3200 লিটার

মোট দৈনিক চাহিদার 25%

= `{\frac{25}{1\cancel00}×32\cancel00 }` লিটার

= 800লিটার

অর্থাৎ যে ট্যাঙ্কটি বানাতে হবে তার আয়তন হবে

 = ( 3200+800)লিটার

= 4000 লিটার

= 4000 ঘনডেসিমি

= 4 ঘনমিটার

ট্যাঙ্কটির দৈর্ঘ্য =2.5মিটার

ট্যাঙ্কটির প্রস্থ = 1.6 মিটার

ধরি, ট্যাঙ্কটির গভীরতা = x মিটার

শর্তানুসারে ,

`2.5×1.6×x =4`

বা, x=`\frac{4}{1.6×2.5}`

বা, x = 1

∴ট্যাঙ্কটিকে 1 মিটার গভীর করতে হবে ।

ট্যাঙ্কটির প্রস্থ আরও 4 ডেসিমি. বৃদ্ধি করলে পরিবর্তিত  প্রস্থ হবে = {(1.6 ✕ 10) +4}ডেসিমি. = 20 ডেসিমি.

ধরি ট্যাঙ্কটির গভীরতা হবে = d ডেসিমি.

শর্তানুসারে ,

(2.5×10)×20×d = 4000

বা, 25×20×d = 4000

বা, d = `\frac{4000}{500}`

বা, d = 8

∴ ট্যাঙ্কটির গভীরতা হবে = 8 ডেসিমি. = 0.8 মিটার ।

22. 5 সেমি পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা । কিন্তু চাল ভরতি বাক্সের ওজন 880.5 কিগ্রা । বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. ও 8.5 ডেসিমি. এবং 1 ঘন ডেসিমি.

চালের ওজন 1.5 কিগ্রা । বাক্সতির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি । প্রতি বর্গডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারপাশ রঙ করতে কত খরচ পরবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা.

চাল ভরতি বাক্সের ওজন 880.5 কিগ্রা.

∴ শুধু চালের ওজন = (880.50-115.50) কিগ্রা. = 765 কিগ্রা.

1 ঘন ডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা.

∴ চালের আয়তন = `\frac{765}{1.5}` ঘনডেসিমি. =510 ঘনডেসিমি.

বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. ও 8.5 ডেসিমি.

ধরি বাক্সটির ভিতরের দিকের উচ্চতা h ডেসিমি.

∴ 12×8.5×h = 510

বা, h= `\frac{510}{12×8.5}`

বা, h = 5

∴ বাক্সটির ভিতরের দিকের উচ্চতা = 5 ডেসিমি.

এখন 5 সেমি. = 0.5 ডেসিমি. পুরু ঢাকনাসহ বাক্সটির বাইরের দিকের দৈর্ঘ্য

= (12+0.5+0.5) ডেসিমি.

= 13 ডেসিমি.

বাইরের দিকের প্রস্থ

= (8.5+0.5+0.5) ডেসিমি.

= 9.5 ডেসিমি.

বাইরের দিকের উচ্চতা

= (5+0.5+0.5)ডেসিমি.

= 6 ডেসিমি.

∴ ঢাকনাসহ বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

= 2(13×9.5 + 9.5×6 + 6×13 ) বর্গডেসিমি.

= 2 (123.5+57+78) বর্গডেসিমি.

= 517 বর্গডেসিমি.

প্রতি বর্গডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের সমগ্রতল রঙ করতে মোট খরচ হয়

= 517×1.50 টাকা

= 775.50 টাকা ।

23. 20 মিটার দীর্ঘ এবং 18.5 মিটার চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মিটার গভীর জল আছে ।ঘণ্টায় 160 কিলোলিটার জলসেচ করতে পারে এমন একটি পাম্প দিয়ে কতক্ষনে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে হিসাব করে লিখি । ঐ জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ক্ষেতে ফেলা হয়,তবে সেই জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি । [ 1 ঘন মিটার = 1 কিলো লিটার ]

সমাধানঃ পুকুরে মোট জলের পরিমান

= (20×18.5×3.2 )ঘন মিটার

= 1184 কিলোলিটার [ যেহেতু 1 ঘন মিটার = 1 কিলো লিটার ]

পাম্প দিয়ে পুকুরের সমস্ত জল সেচ করতে সময় লাগবে

 = `\frac{1184}{160}` ঘণ্টা

= `\frac{37}{5}` ঘণ্টা

= 7 পূর্ণ `\frac{2}{5}` ঘণ্টা

= 7 ঘন্টা `(\frac{2}{\cancel5}×\cancel60_{12} )` মিনিট

= 7 ঘণ্টা 24 মিনিট

ধরি , ওই জল 59.5 মিটার দীর্ঘ , 40 মিটার চওড়া আল দেওয়া ধানক্ষেতে ফেললে সেই জমিতে জলের গভীরতা h মিটার হবে ।

প্রশ্নানুসারে ,

59.2×40×h = 1184

h=`\frac{1184}{59.2×40}`

বা, h = `\frac{1}{2}`

বা, h = 0.5

সুতরাং ধানক্ষেতে জলের গভীরতা হবে 0.5 মিটার ।

24.অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলী (V.S.A)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন(M.C.Q):

(i) একটি সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি. । বাক্সটির ভেতরের উচ্চতা

(a) 4 সেমি.

(b) 5 সেমি.

(c) 3 সেমি.

(d) 6 সেমি.

Ans: বাক্সটির ভেতরের উচ্চতা (b) 5 সেমি.

(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মিটার, প্রস্থ 12 মিটার এবং গভীরতা 16 মিটার । ওই গর্তের মধ্যে 5মিটার দৈর্ঘ্য , 4 মিটার প্রস্থ এবং 2 মিটার পুরু তক্তা রাখা যাবে

(a) 190 টি

(b) 192 টি

( c) 184 টি

(d) 180 টি

Ans: (b) 192 টি

(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার । ঘনকটির আয়তন

(a) 64 ঘন মিটার

(b) 216 ঘনমিটার

(c ) 256 ঘন মিটার

(d) 512 ঘন মিটার

Ans: ঘনকটির আয়তন (d) 512 ঘন মিটার

(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1:27 হলে ঘনক দুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

(a) 1:3

(b) 1:8

(c ) 1:9

(d) 1:18

Ans: ঘনক দুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত (c ) 1:9

(v) একটি ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল S বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে S এবং d এর মধ্যে সম্পর্ক কি ?

(a) S = 6d²

(b) 3S= 7d

(c) S³ =d²

(d) S এবং d এর মধ্যে সম্পর্ক d² = `\frac{S}{2}`

(B) নীচের বিবৃতি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের আয়তনের 4 গুন হবে ।

Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা

(ii) বর্ষার দিনে 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. উচ্চতার হলে , বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘন মিটার [ উত্তর সংকেতঃ 1 আর = 100 বর্গ মিটার , 1 হেক্টর = 100 আর ]

Ans: বিবৃতিটি সত্য

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা _______________ টি ।

Ans: একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা4টি ।

(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য=_______________ ✕ একটি ধারের দৈর্ঘ্য ।

Ans: একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য=√2✕ একটি ধারের দৈর্ঘ্য ।

(iii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য ,প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই বিশেষ ঘন বস্তুর নাম ______________ ।

Ans: সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য ,প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই বিশেষ ঘন বস্তুর নাম ঘনক।

25. সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন(S.A):

(i) একটি আয়তঘনের তল সংখ্যা = x , ধার সংখ্যা = y , শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের সংখ্যা =P হলে , x-y+z+p এর মাণ কত ?

সমাধানঃ  

আয়তঘনের

তল সংখ্যা = x = 6 টি

ধার সংখ্যা = y = 12 টি

শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z = 8 টি

কর্ণের সংখ্যা = p = 4 টি

∴ x-y+z+p=6-12+8+4 = 6 [উত্তর ]

(ii) দুটি আয়তঘনর মাত্রা যথাক্রমে 4 ,6,4 এবং 8 ,(2h-1), 2 একক । যদি আয়তঘনর ঘনফল সমান হয় তাহলে h এর মান কত তা লিখি ।

সমাধানঃ যেহেতু আয়তঘন দুটির আয়তন সমান

∴ 4×6×4 = 8×(2h-1)×2

বা, 96 =16✕(2h-1)

বা, (2h-1) = `\frac{96]{16}`

বা, 2h-1 = 6

বা, h = `\frac{6+1}{2}`

বা, h=` \frac{7}{2}`

∴ h = 3.5 [উত্তর ]

(iii) একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ  ধরি একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

∴ ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল  = 6a² বর্গ একক

এখন বাহুর দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে পরিবর্তিত ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে

=`(a+\frac{50}{100}×a)`একক

=`(a+\frac{a}{2})` একক

=`\frac{3a}{2}` একক

∴ পরিবর্তিত ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

=`6×(\frac{3a}{2})^{2}`বর্গ একক

=`6×\frac{9a^{2}}{4}`বর্গ একক

=`\frac{27}{2}a^{2}`বর্গ একক

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেল

=`(\frac{27}{2}a^{2}-6a^{2})` বর্গ একক

=`\frac{27a^{2}-12a^{2}}{2}` বর্গ একক

=`\frac{27a^{2}-12a^{2}}{2}` বর্গ একক

=`\frac{15a^{2}}{2}` বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পেল=`\frac{\frac{15a^{2}}{2}}{6a^{2}}×100`

=`\frac{15a^{2}}{12a^{2}}×100`

= 125%

∴ একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে 125% ।

(iv) একটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 cm ,4cm এবং 5 cm । ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন ঘনক তৈরি করা হল । নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি ।

সমাধানঃ ধরি নতুন ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = a cm.

যেহেতু তিনটি ছোটো ঘনক কে গলিয়ে একটি বড় ঘনক তৈরি করা হয়েছে সুতরাং তিনটি ঘনকের মোট আয়তন বড় ঘনকটির আয়তনের সাথে সমান হবে ।

∴ (3)³+(4)³+(5)³ = a ³

বা, 27+64+125 = a³

বা, a³ = 216

বা, a³=(6)³

বা, a = 6

∴ নতুন ঘনকটির প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য হবে 6 cm.

(v) একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেওয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার ও 8 মিটার । ঘরটির উচ্চতা 4 মিটার হলে ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল কত হবে তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = 12×8  বর্গমিটার = 96 বর্গ মিটার ।