Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.2 | Madhyamik Mathematics Solution WBBSE । অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.২

এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.2 নিয়ে এসেছি। Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.2 Answer solve | Class X Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.2 | মাধ্যমিক গণিতের পঞ্চম অধ্যায় অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.২ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।

অনুপাত ও সমানুপাত

Ratio and Proportion

অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.২

Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.2 | Madhyamik Mathematics Solution WBBSE

1. নিম্ন লিখিত সমানুপাতে x এর মান নির্ণয় করি ।

(i) 10:35::x:42

উত্তর: 10:35::x:42

বা,`\frac{10}{35}=\frac{x}{42}`

বা,`35x=420`

বা,`x=\frac{420}{35}`

∴ x = 12

(ii) x : 50 : : 3:2

উত্তর: x : 50 : : 3:2

বা, `\frac{x}{50}=\frac{3}{2}`

বা, `2x=150`

বা, ` x=\frac{150}{2}`

∴ x = 75

2. নিম্ন লিখিত সংখ্যা গুলির চতুর্থ সমানুপাতী নির্ণয় করি :

(i) `\frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5}`

উত্তর: ধরি, চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

∴ `\frac{1}{3}:\frac{1}{4} :: \frac{1}{5} : x`

বা, `\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{x}`

বা, `\frac{4}{3}=\frac{1}{5x}`

বা, `20x=3`

∴ `x= \frac{3}{20}`

(ii) 9.6 কিগ্রা , 7.6 কিগ্রা , 28.8 কিগ্রা

উত্তর: ধরি , চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

∴ 9.6 : 7.6 :: 28.8 : x

বা, `\frac{9.6}{7.6}=\frac{28.8}{x}`

বা, `\frac{96}{76}=\frac{288}{10x}`

বা, `\frac{24}{19}=\frac{288}{10x} `

বা, `240x=19×288`

বা, `x = \frac{19×288}{240}`

x=22.8

∴ চতুর্থ সমানুপাতি টি হল 22.8 কিগ্রা ।

(iii) x²y ,y²z , z²x

উত্তর: ধরি , চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

∴`x^{2}y : y^{2}z :: z^{2}x : a`

বা, `\frac{x^{2}y}{y^{2}z}=\frac{z^{2}x}{a}`

বা, `ax^{2}y=z^{2}x×y^{2}z`

বা, `a=\frac{z^{3}y^{2}x}{x^{2}y}`

বা, `a= \frac{z^{3}y}{x}`

∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতীটি হল ` \frac{z^{3}y}{x} `

(iv) (p-q) , (p²-q²) , (p2-pq+q2)

উত্তর: ধরি , চতুর্থ সমানুপাতীটি হল x

∴ `(p-q) : (p^{2}-q^{2}) :: (p^{2}-pq+q^{2}) : x`

বা, `\frac{(p-q)}{(p^{2}-q^{2})}=\frac{(p^{2}-pq+q^{2})}{x}`

বা, `x= \frac{(p-q)(p+q)(p^{2}-pq+q^{2})}{(p-q)}`

বা, `x=(p^{3}-q^{3})`

∴ নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতি টি হল (p³ –q³) ।

3. নিম্নলিখিত সংখ্যাগুচ্ছ গুলির তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করঃ

(i) 5,10

উত্তর: ধরি , তৃতীয় সমানুপাতীটি  হল x

∴ 5 : 10 :: 10 : x

বা, `\frac{5}{10}=\frac{10}{x}`

বা, `5x= 100`

বা,` x = 20`

সুতরাং তৃতীয় সমানুপাতিটি হল 20

(ii) 0.24 , 0.6

উত্তর: ধরি , তৃতীয় সমানুপাতীটি হল x

∴ 0.24 : 0.6 :: 0.6 : x

বা, `\frac{0.24}{0.6}=\frac{0.6}{x}`

বা, `0.24x = 0.6×0.6`

বা, `x=\frac{0.36}{0.24}`

বা, `x = \frac{3}{2}`

বা, `x = 1\frac{1}{2}`

সুতরাং তৃতীয় সমানুপাতীটি হল `1\frac{1}{2} ` .

(iii) p³q² , q² r

উত্তর: ধরি , তৃতীয় সমানুপাতী টি হল x

∴ `p^{3}q^{2} : q^{2}r :: q^{2}r : x `

বা, `\frac{p^{3}q^{2}}{q^{2}r}={q^{2}r}{x}`

বা, `xp^{3}q^{2}=q^{4}r^{2}`

বা, `x = \frac{p^{4}r^{2}}{p^{3}q^{2}}`

বা, `x= \frac{q^{2}r^{2}}{p^{3}} `

নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী টি হল `\frac{q^{2}r^{2}}{p^{3}}`

(iv) (x-y)² , (x²-y²)²

উত্তর: ধরি , তৃতীয় সমানুপাতীটি হল a

∴ `(x-y)^{2}:(x^{2}-y^{2})^{2}::(x^{2}-y^{2})^{2}:a`

`\Rightarrow \frac{(x-y)^{2}}{(x^{2}-y^{2})^{2}}=\frac{(x^{2}-y^{2})^{2}}{a}`

`\Rightarrow a(x-y)^{2}=(x^{2}-y^{2})^{4}`

`\Rightarrow a=\frac{(x^{2}-y^{2})^{4}}{(x-y)^{2}}`

`\Rightarrow a=\frac{(x+y)^{4}(x-y)^{4}}{(x-y)^{2}}`

`\Rightarrow a=(x+y)^{4}(x-y)^{2}`

∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতি হল (x+y)⁴ (x-y)²

4. নিম্নলিখিত ধনাত্মক সংখ্যাগুলির মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করিঃ

(i) 5 এবং 80

উত্তর: ধরি , মধ্যসমানুপাতীটি হল x

∴ 5:x :: x:80

বা, `\frac{5}{x}=\frac{x}{80}`

বা, `x^{2}=400`

বা,`x=\sqrt{400}`

∴ `x=20`

∴ মধ্য সমানুপাতীটি হল 20

(ii) 8.1 এবং 2.5

উত্তর: ধরি , মধ্য সমানুপাতীটি হল x

∴ 8.1 : x :: x : 2.5

বা, `\frac{8.1}{x}=\frac{x}{2.5}`

বা, `x^{2}=8.1×2.5`

বা, `x^{2}=\frac{81×25}{100}`

বা,`x=\frac{\sqrt{81×25}}{\sqrt{100}}`

বা, `x=\frac{9×5}{10}`

বা, `x=\frac{45}{10}`

বা, `x = 4.5`

∴ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল 4.5

(iii) x³y এবং xy³

উত্তর: ধরি , মধ্য সমানুপাতীটি হল k

∴ `x^{3}y : k :: k : xy^{3}`

`\Rightarrow \frac{x^{3}y}{k}=\frac{k}{x^{3}y}`

`\Rightarrow k^{2}=x^{4}y^{4}`

`\Rightarrow k^{2}=(x^{2}y^{2})^{2}`

`\Rightarrow k=x^{2}y^{2}`

∴ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল x²y²

(iv) (x-y)² , (x+y)²

উত্তর: ধরি , মধ্য সমানুপাতীটি হল a

∴ `(x-y)^{2}:a::a:(x+y)^{^{2}}`

`\Rightarrow \frac{(x-y)^{2}}{a}=\frac{a}{(x+y)^{2}}`

`\Rightarrow a^{2}= (x-y)^{2}(x+y)^{2}`

`\Rightarrow a^{2}= (x^{2}-y^{2})^{2}`

`\Rightarrow a= (x^{2}-y^{2})`

∴ নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতীটি হল (x²-y²)

5. যদি a:b এবং c:d পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে , তবে তাদের ব্যস্ত অনুপাতগুলি কী সম্পর্ক প্রকাশ করবে লিখি ।

উত্তর: যদি a:b এবং c:d পরস্পর বিপরীতমুখী সম্পর্ক প্রকাশ করে , তবে তাদের ব্যাস্ত অনুপাতগুলি অর্থাৎ b:a এবং d:c পরস্পর ব্যাস্ত সম্পর্ক প্রকাশ করবে ।

6. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে কটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে লিখি ।

উত্তর: তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা দিয়ে দুটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা যাবে

যেমন : a,b,c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা হলে , a:b::b:c এবং b:a :: c:b এই দুটি ক্রমিক সমানুপাত গঠন করা সম্ভব ।

7. 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6 ,পঞ্চম সংখ্যাটি কত ?

উত্তর: 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার প্রথমটি 2 এবং দ্বিতীয়টি 6

ধরি তৃতীয় ,চতুর্থ এবং পঞ্চম সংখ্যা যথাক্রমে a ,b ,c

∴ `\frac{2}{6}=\frac{6}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}`

`\Rightarrow \frac{2}{6}=\frac{6}{a}`

`\Rightarrow 2a=36`

`\Rightarrow a= 18`

আবার,

`\frac{6}{a}=\frac{a}{b}`

`\Rightarrow \frac{6}{18}=\frac{18}{b}` [ যেহেতু a= 18 ]

`\Rightarrow b=\frac{18×18}{6}`

`\Rightarrow b=54`

এখন,

`\frac{a}{b}=\frac{b}{c}`

`\Rightarrow \frac{18}{54}=\frac{54}{c}` [ যেহেতু a= 18, b=54 ]

`\Rightarrow 18c=54×54`

`\Rightarrow c=\frac{54×54}{18}`

`\Rightarrow c=162`

∴ পঞ্চম সমানুপাতীটি হল 162

8. 6 , 15, 20 ও 43 এই প্রতিটির সাথে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি ।

উত্তর:  ধরি , 6 , 15, 20 ও 43 এই প্রতিটির সাথে x  যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে ।

∴ (6+x) : (15+x) :: (20+x) : (43+x)

`\Rightarrow \frac{6+x}{15+x}=\frac{20+x}{43+x}`

`\Rightarrow (6+x)(43+x)=(20+x)(15+x)`

`\Rightarrow 258+49x+x^{2}=300+35x+x^{2}`

`\Rightarrow 14x=300-258`

`\Rightarrow 14x=42`

∴ `x=3`

∴ প্রদত্ত সংখ্যাগুলির সাথে 3 যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে ।

9. 23 ,30,57এবং 78 প্রত্যেকটি থেকে কতবিয়গ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে নির্ণয় করি ।

উত্তর: ধরি 23 ,30 , 57, এবং 78 প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফল গুলি সমানুপাতী হবে ।

∴ (23-x) : (30-x) :: (57-x) :(78-x)

`\Rightarrow \frac{23-x}{30-x}=\frac{57-x}{78-x}`

`\Rightarrow (23-x)(78-x)=(57-x)(30-x)`

`\Rightarrow 1794-23x-78x+x^{2}=1710-57x-30x+x^{2}`

`\Rightarrow 1794-101x+x^{2}=1710-87x+x^{2}`

`\Rightarrow -101x+87x=1710-1794`

`\Rightarrow -14x=-84`

`\Rightarrow x=\frac{\cancel84^{6}}{\cancel14}`

`\Rightarrow x= 6`

∴ সংখ্যা গুলি থেকে 6 বিয়োগ করলে সংখ্যাগুলি সমানুপাতী হবে ।

10. p ,q,r,s এর প্রত্যেকটি থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে ?

উত্তর: ধরি p,q,r,s এর প্রত্যেকটি থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে

∴ (p-x) : (q-x) :: (r-x) :(s-x)

`\Rightarrow \frac{p-x}{q-x}=\frac{r-x}{s-x}`

`\Rightarrow (p-x)(s-x)=(r-x)(q-x)`

`\Rightarrow ps-px-sx+x^{2}=rq-xq-rx+x^{2}`

`\Rightarrow qx+rx-px-sx =rq-ps`

`\Rightarrow x(q+r-p-s) = rq-ps`

`\Rightarrow x = \frac{(rq-ps)}{(q+r-p-s)}`

∴ p,q,r,s প্রত্যেকটি সংখ্যার থেকে `\frac{(rq-ps)}{(q+r-p-s)}` রাশিটি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলি সমানুপাতী হবে ।