এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 নিয়ে এসেছি। Class 10 Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 Answer solve | Class X Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 | মাধ্যমিক গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
Quadratic Equations With One Variable
Class 10
দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫
Class 10 Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.5 Madhyamik Mathematics Solution WBBSE । দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৫
1.নিচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি :-
(i) 2x2+7x+3=0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a = 2 , b = 7 এবং c = 3
∴ নিরূপক = b2-4ac
= (7)2 – 4 (2)(3)
= 49 – 24
= 25 > 0
∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান ।
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
(ii) 3x2-2`\sqrt{6}`x+2=0
a = 3, b = -2`\sqrt{6}` , c = 2
∴ নিরূপক = b2-4ac
= (-2`\sqrt{6}`)2– 4 (3)(2)
= 24-24
= 0
∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান ।
(iii) 2x2 -7x +9 =0
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a=2 , b = -7 , c = 9
∴ নিরূপক = b2-4ac
= (-7)2 – 4 (2)(9)
= 49 – 72
= -23 < 0
∴ সমীকরণটির বীজদ্বয় কাল্পনিক ।
(iv) `\frac2{5}`x2 – `\frac2{3}`x +1=0
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax2 +bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a = `\frac2{5}` , b = `\frac{-2}{3}` এবং c = 1
∴ নিরূপক
= b2-4ac
`=(-\frac{2}{3})^{2}-4×\frac{2}{5}×1`
`=\frac{4}{9}-\frac{8}{5}`
`=\frac{20-72}{45}`
`=\frac{-52}{45}<0`
∴ সমীকরণের বীজদ্বয় কাল্পনিক ।
2. k এর কোন মান/মানগুলির জন্য নিচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি ।
(i) 49x2 +kx +1 =0
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax2 +bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a= 49 , b = k , c = 1
যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান
∴ b2 -4ac =0
বা, (k)2 – 4 (49)(1)=0
বা, k2 -196=0
বা, k2 = 196
বা, k = ±`sqrt{196}`
বা, k = ± 14
∴ k এর মান ± 14 ।
(ii) 3x2 – 5x + 2k=0
3x2 -5x + 2k =0
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax2 +bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a=3 , b = -5 , c = 2k
যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান
∴ b2 -4ac =0
বা, (-5)2 – 4 (3) (2k) =0
বা, 25 – 24k =0
বা, 24k = 25
বা, k = `\frac25{24}`
∴ k এর মান `\frac25{24}`
(iii) 9x2 -24x +k =0
9x2 -24x +k =0
প্রদত্ত সমীকরণ টিকে ax2 +bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a= 9 , b = -24 এবং c = k
যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ b2 -4ac =0
বা, (-24)2 – 4 (9) (k) = 0
বা, 576 -36k = 0
বা, 36k = 576
বা, k = `\frac576{36}`
বা, k = 16
∴ k এর মান 16 ।
(iv) 2x2 +3x +k =0
2x2 +3x +k =0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 +bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a= 2 , b = 3 এবং c = k
যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ b2 -4ac =0
বা, (3)2 – 4(2) (k) =0
বা, 9 – 8k = 0
বা, 8k =9
বা, k = `\frac9{8}`
∴ k এর মান `\frac9{8}`
(v) x2 – 2(5+2k)x +3 (7+10k) =0
x2 – 2(5+2k)x +3 (7+10k) =0
প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 +bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a = 1 , b = -2(5+2k) এবং c = 3(7+10k)
যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ b2 -4ac =0
বা, {-2(5+2k)}2 – 4 (1) {3(7+10k)} =0
বা, 4(5+2k)2 -12(7+10k)=0
বা, 4{(5+2k)2 -3(7+10k)}=0
বা, (5+2k)2 – 3(7+10k) =0 [ উভয়পক্ষে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই ]
বা, (5)2 +2 (5)(2k) +(2k)2 – 21- 30k=0
বা, 25 +20k + 4k2 -21 -30k =0
বা, 4k2 -10k +4 =0
বা, 2k2 -5k +2=0
বা, 2k2 -4k –k +2 =0
বা, 2k(k-2) -1(k-2) =0
বা, (k-2)(2k-1)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য ,
হয় (k-2)=0
বা, k = 2
অথবা, (2k-1)=0
বা, k= `\frac1{2}`
∴ k এর মান 2 এবং `\frac1{2}` ।
(vi) (3k+1)x2+2(k+1)x+k=0
সমাধান: (3k+1)x2+2(k+1)x+k=0
প্রদত্ত সমীকরণকে ax2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
a=(3k+1),b=2(k+1) এবং c=k
যেহেতু , দ্বিঘাত সমীকরণের বিজদ্বয় বাস্তব ও সমান,
∴ নিরূপক =0
বা, b2-4ac=0
বা, {2(k+1)}2– 4 ✕ (3k+1) ✕ k =0
বা, 4(k+1)2 -4(3k2+k)=0
বা, 4(k2+2k+1)-12k2-4k=0
বা, 4k2+8k+4-12k2-4k=0
বা, -8k2+4k+4=0
বা, 2k2-k-1=0
বা, 2k2-(2-1)k-1=0
বা, 2k2 -2k+k-1=0
বা, 2k(k-1)+1(k-1)=0
বা, (k-1)(2k+1)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ (k-1)=0
বা, k =1
অথবা,
(2k+1)=0
বা, 2k=-1
বা, k = `\frac{-1}{2}`
∴ k এর মান 1 এবং `\frac{-1}{2}`
3. নিচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি :-
(i) 4 ,2
সমাধানঃ
কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে
x2 –(বীজ দ্বয়ের যোগফল)x + বীজ দ্বয়ের গুনফল = 0
∴ এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে
= x2– (4+2)x+ 4×3=0
বা, x2 – 6x +12 =0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল = x2 – 6x +12 =0 ।
(ii) -4,-3
সমাধান:
কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে
x2 –(বীজ দ্বয়ের যোগফল)x + বীজ দ্বয়ের গুনফল = 0
∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে
= x2 – {-4+(-3)}x + (-4)(-3) = 0
বা, x2 +7x+12 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ টি হল
x2 +7x+12 = 0 ।
(iii) -4, 3
সমাধান:
কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে
x2 –(বীজদ্বয়ের যোগফল)x + বীজদ্বয়ের গুনফল = 0
∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণ টি হবে
= x2 – (-4+3)x + (-4)(3) =0
বা, x2 +x – 12 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2 +x – 12 = 0 ।
(iv) 5, -3
সমাধান:
কোনও দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ প্রদত্ত থাকলে সমীকরণ টি হবে
x2 –(বীজ দ্বয়ের যোগফল)x + বীজ দ্বয়ের গুনফল = 0
∴এক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণ টি হবে
x2 – {5+(-3)}x+ 5(-3)=0
বা, x2 – (5-3)x+ 5(-3)=0
বা, x2 – 2x -15 = 0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে x2 – 2x -15 = 0
4. m এর মান কত হলে, 4x2 +4(3m-1)x+(m+7)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে ?
সমাধান:
ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় a এবং `\frac1{a}` ।
যেহেতু, বীজদ্বয়ের গুনফল = (ধ্রুবক পদ)/ (x2 এর সহগ)
`∴ a×\frac{1}{a}=\frac{m+7}{4}`
বা, `1=\frac{m+7}{4}`
বা, m+7 = 4
বা, m = 4-7
বা, m = -3
∴ m এরমান -3 হলে প্রদত্ত সমীকরণটির বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হবে ।
5. (b-c)x2 +(c-a)x+(a-b)=0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে 2b = a+c ।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax2 +Bx+ C = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
A = (b-c) , B = (c-a) এবং C = (a-b)
যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণটির বীজদ্বয় সমান
∴ নিরূপক = B² – 4 AC = 0
বা, (c-a)2–4(b-c)(a-b)= 0
বা, c2 -2ca + a2 – 4ab+ 4 ac + 4b2 -4bc = 0
বা, a2+4b2+c2-4ab -4bc +2ac = 0
বা, a2 + (-2b)2 +c2 + 2(a)(-2b) + 2 (-2b)(c) + 2 a c = 0
বা, {a + (-2b)+ c }2 = 0 [ যেহেতু , (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ]
বা, (a-2b+c)2 = 0
বা, (a-2b+c) =0
বা, a+c = 2b [প্রমানিত ]
6. (a2+b2)x2 – 2(ac+bd)x + (c2 +d2) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমান করি যে a/b = c/d ।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax2 +Bx+ C = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
A = (a2+b2)
B = -2 (ac+bd)
C = (c2 +d2)
যেহেতু সমীকরণের বীজদ্বয় সমান
∴ নিরূপক = B² – 4 AC = 0
বা, {-2(ac+bd)}2 – 4(a2+b2)(c2+d2) = 0
বা, 4(ac+bd)2 – 4 (a2c2+b2c2+a2d2+b2d2) = 0
বা, 4{(ac)2 +2 (ac)(bd) +(bd)2} – 4a2c2-4b2c2-4a2d2-4b2d2 = 0
বা, 4(a2c2 + 2acbd +b2d2 –a2c2 –b2c2-a2d2-b2d2) = 0
বা, {b2c2 -2(bc)(ad) + a2d2 } = 0 [উভয়পক্ষে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই ]
বা, (bc – ad)2 =0
বা, (bc – ad) = 0
বা, bc = ad
বা, `\frac{c}{d}` = `\frac{a}{b}`
বা, `\frac{a}{b}` = `\frac{c}{d}` [ প্রমানিত ]
7. প্রমান করো যে (a2+b2)x2 +2(a+b)x+1 =0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনও বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a ≠ b হয় ।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax2 +Bx+ C = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই ,
A = 2(a2+b2)
B = 2(a+b)
C = 1
এখন নিরূপক = B2 -4AC
= {2(a+b)}2 – 4 {2(a2+b2)}
= 4(a2 +2ab+b2)-8a2-8b2
= 4a2+8ab+4b2 -8a2 -8b2
= -4a2+8ab-4b2
=-4(a2 -2ab+b2)
= – 4(a-b)2
এখন {- 4(a-b)2 } রাশিটি সর্বদা ঋণাত্মক কারণ (a-b)2 সর্বদা ধনাত্মক ।
এখন , a = b হলে B2 -4AC = 0 হবে
সেক্ষেত্রে সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে ।
∴ a ≠ b হলে B2 -4AC < 0 হবে
∴ a ≠ b হলে দ্বিঘাত সমীকরণটির কোনও বাস্তব বীজ থাকবে না [প্রমানিত] ।
8. 5×2 +2x -3=0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α এবং β হলে ,(i) α2 + β2 (ii) α3 +β3 (iii) 1/α + 1/β (iv) α2/β + β2/ α এর মান নির্ণয় করো ।
সমাধান:
5x2 +2x -3 =0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β ।
∴α + β =-(x এর সহগ)/(x2 এর সহগ)= -2/5 ———(i)
এবং αβ =(ধ্রুবক পদ)/(x2 এর সহগ)= -3/5 ——(ii)
(i) α2 + β2
সমাধান:
α2 + β2
=(α+β)2-2αβ
=`(\frac{-2}{5})^{2}-2(\frac{-3}{5})^{2}` [ (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত (α+β) এবং αβ এর মান বসিয়ে পাই ]
`=\frac{4}{25}+\frac{6}{5}`
`=\frac{4+30}{25}`
`=\frac{34}{25}`
(ii) α3 + β3
সমাধান:
α3 + β3
=(α+β)3-3αβ(α+β)
`=(\frac{-2}{5})^{3}-3(\frac{-3}{5})(\frac{-2}{5})` [ (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত (α+β) এবং αβ এর মান বসিয়ে পাই ]
`=\frac{-8}{125}-\frac{18}{25}`
`=\frac{-8-90}{125}`
`=\frac{-98}{125}`
(iii) `\frac1{α}+\frac1{β}`
সমাধান:
`\frac1{α}+\frac1{β}`
`=\frac{β+α}{αβ}`
`=\frac{\frac{-2}{5}}{\frac{-3}{5}}` [ (i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত (α+β) এবং αβ এর মান বসিয়ে পাই ]
`=\frac{-2}{5}÷\frac{-3}{5}`
`=\frac2{5}×\frac5{3}`
`=\frac2{3}`
(iv) `\frac{α^{2}}{β}+\frac{β^{2}}{α}`
সমাধান:
`\frac{α^{2}}{β}+\frac{β^{2}}{α}`
`=\frac{α^{3}+β^{3}}{αβ}`
`=\frac{(α+β)^{3}-3αβ(α+β)}{αβ}`
`=\frac{(-\frac{2}{5})^{3}-3(\frac{-3}{5})(-\frac{2}{5})}{\frac{-3}{5}}` [(i) ও (ii) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত (α+β) এবং αβ এর মান বসিয়ে পাই]
`=\frac{\frac{-8}{125}-\frac{18}{25}}{\frac{-3}{5}}`
`=\frac{\frac{-8-90}{125}}{\frac{-3}{5}}`
`=\frac{-98}{125}÷\frac{-3}{5}`
`=\frac{98}{125}×\frac{5}{3}`
`=\frac98{75}`
9. ax2+bx+c=0 সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে , দেখাই যে 2b2 = 9ac ।
সমাধানঃ
ধরি প্রদত্ত সমীকরণটির একটি বীজ α ।
∴ অন্য বীজটি হবে 2α ।
∴ α + 2α = `-\frac{b}{a}` [∵ বীজদ্বয়ের যোগফল = `-\frac{X\text{এর সহগ}}{X^{2}\text{ এর সহগ}}`]
বা, 3α = `-\frac{b}{a}`
বা, α = `-\frac{b}{3a}`
আবার, α × 2α = `\frac{c}{a}` [∵ বীজদ্বয়ের গুণফল = 
]
আবার, 2α2 = `\frac{c}{a}`
বা, `2(-\frac{b}{3a})^{2} = \frac{c}{a}`
বা, `2(\frac{b^{2}}{9a^{2}})=\frac{c}{a}`
বা, `2b^{2} = \frac{9a^{2}c}{a}`
বা, 2b2=9ac [প্রমানিত]
10. যে সমীকরণের বীজগুলি x2 +px+1 =0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক , সেই সমীকরণটি গঠন করি ।
সমাধানঃ
ধরি, প্রদত্ত সমীকরণের দুটি বীজ a ও b ।
∴ a+b = -p [যেহেতু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = -{(x-এর সহগ)/x2 এর সহগ} ]
এবং ab = 1 [যেহেতু, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ /x2 এর সহগ ]
যে সমীকরণটি তৈরি করতে বলা হয়েছে তার বীজদ্বয় হবে প্রদত্ত সমীকরনের বীজদ্বয়ের অন্যোন্যক অর্থাৎ নতুন সমীকরণের বীজদ্বয় হল 1/a এবং 1/b ।
∴ `\frac1{a}+\frac1{b}`
`=\frac{b+a}{ab}`
`=\frac{-p}{1}` [যেহেতু, a+b=-p এবং ab=1]
= -p
আবার, `\frac1{a}×\frac1{b}=\frac1{ab}=1`[যেহেতু, ab=1]
∴ নির্ণেয় সমীকরণটি হবে
= x2-( বীজদ্বয়ের যোগফল) x+(বীজদ্বয়ের গুনফল)=0
বা, `x^{2}-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})x+\frac{1}{a}×\frac{1}{b}=0`
বা, `x^{2}-(-p)x+1=0` [যেহেতু, `(\frac1{a}+\frac1{b}=-p` এবং `\frac1{a}×\frac1{b}=1`]
বা, x2+px+1=0
এই সমীকরণটি হল নির্ণেয় সমীকরণ যার বীজদ্বয়, প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের অন্যোন্যক ।
11. x2+x+1 =0 সমীকরণের বীজগুলির বর্গ যে সমীকরনের বীজ ,সেই সমীকরণটি নির্ণয় কর ।
সমাধানঃ ধরি, x2+x+1 =0 সমীকরনের বীজগুলি হল a এবং b. আমাদের যে সমীকরণটি নির্ণয় করতে হবে তার বীজগুলি প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলির বর্গ হবে অর্থাৎ a2 এবং b2 বীজ বিশিষ্ট দ্বিঘাতসমীকরণ নির্ণয় করতে হবে ।
x2+x+1 =0 সমীকরনের বীজগুলি হল a এবং b
∴ a+b = -1 এবং ab = 1
এখন , a2+b2
= (a+b)2-2ab
= (-1)2-2(1) [∵ a+b = -1 এবং ab = 1]
= 1-2
=-1
এবং a2b2 = (ab)2 =(1)2 =1[∵ab = 1]
নির্ণেয় সমীকরণটি হল ,
x2-(a2+b2)x+a2b2=0
= x2-(-1)x+1=0
= x2+x+1
∴ x2+x+1 এই সমীকরণটি হল সেই সমীকরণ যার বীজগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলির বর্গ ।
12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) x2-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমস্টি
(a) 2
(b) -2
(c) 6
(d) -6
Ans:(c) 6
সমাধানঃ x2-6x+2=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমস্টি = -(x এর সহগ)/ (x2 এর সহগ)= -(-6)/1= 6
(ii) x2-3x+k=10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 হলে, k এর মান
(a) -2
(b) -8
(c) 8
(d) 12
Ans: (c) 8
সমাধানঃ
x2-3x+k=10
বা, x2-3x+(k-10)=0
এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = =`\frac{(k-10)}{1}`=`(k-10)`
∴ (k-10) = -2 [ যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল -2 প্রদত্ত ]
বা, k=10-2
বা, k =8
(iii) ax2+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হলে ,b2 -4ac হবে ,
(a) > 0
(b) =0
(c) <0
(d) কোনোটিই নয়
Ans: (a) > 0
(iv) ax2+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে,
(a) c =`-\frac{b}{2a}`
(b) c = `\frac{b}{2a}`
(c) c = `\frac{-b^{2}}{4a}`
(d) c = `\frac{-b^{2}}{4a}`
Ans: (d) `\frac{-b^{2}}{4a}`
সমাধানঃ ax2+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, নিরূপক শূন্য হয় অর্থাৎ,
b2-4ac =0
বা, b2 = 4ac
বা, c = `\frac{b^{2}}{4a}`
(v) 3x2+8x+2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে, `(\frac1{α}+\frac1{β})` এর মান
(a) `\frac{-3}{8}`
(b) `\frac2{3}`
(c) -4
(d) 4
Ans: (c) -4
সমাধান: 3x2+8x+2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β
∴ α + β = `\frac{-8}{3}` —(i) [যেহেতু বীজদ্বয়ের যোগফল = -(x এর সহগ)/(x2 এর সহগ)]
এবং α × β = `\frac2{3}` —(ii) [যেহেতু বীজদ্বয়ের গুণফল = ধ্রুবক পদ / x2 এর সহগ]
∴`(\frac{1}{α}+\frac{1}{β})=\frac{β+α}{αβ}=\frac{\frac{-8}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{-8}{3}÷\frac{2}{3}=\frac{-8}{3}×\frac{3}{2}=-4`
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) x2+x+1 সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব ।
উত্তরঃ বিবৃতিটি মিথ্যা ।
x2+x+1=0 সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই , a=1,b=1 এবং c =1
নিরূপক = b2-4ac = (1)2-4(1)(1)=1-4=-3<0
সুতরাং প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক ।
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা
(ii) x2-x+2=0 সমীকরণের বীজগুলি বাস্তব নয় ।
উত্তরঃবিবৃতিটি সত্য ।
x2-x+2=0 সমীকরণটিকে ax2+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই , a=1,b=-1 এবং c =2
নিরূপক = b2-4ac = (-1)2-4(1)(2)=1-8=-7<0
সুতরাং প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক ।
∴ বিবৃতিটি সত্য ।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) 7x2-12x+18=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফলের অনুপাত _________ ।
উত্তরঃ 2:3
সমাধানঃ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হল 7×2-12x+18=0
প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি `=-\frac{x\text{ এর সহগ}}{x^{2}\text{ এর সহগ}}=\frac{(-12)}{7}=\frac12{7}`
এবং প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল = = `\frac18{7}`
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুনফলের অনুপাত = `\frac12{7}:\frac18{7}` = 12:18 = 2:3
(ii) ax2+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, C= ________
উত্তরঃ a
সমাধান:
ধরি, দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ α
∴ অপর বীজটি হবে `\frac1{α}` [ ∵ বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্য়ক ]
এখন, বীজদ্বয়ের গুণফল = = `\frac{c}{a}`
∴ `α×\frac1{α}=\frac{c}{a}`
বা, 1 = `\frac{c}{a}`
বা, c = a
(iii) ax2+bx+c=0 (a≠0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে , a+c= _______
উত্তর: 0
সমাধান: ধরি, ax2+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ a,
∴ অন্য বীজটি হবে `\frac{-1}{a}`
বীজদ্বয়ের গুণফল =
বা, a × `(\frac{-1}{a})` = `\frac{c}{a}`
বা, -1 = `\frac{c}{a}`
বা, c = -a
বা, c+a = 0
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন(S.A)
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24 হলে,দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি ।
সমাধানঃ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুনফল 24
দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে
x2 -(বীজদ্বয়ের যোগফল)x+(বীজদ্বয়ের গুনফল)=0
বা, x2-14x+24=0
∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল x2-14x+24=0
(ii) kx2+2x+3k=0 (k≠0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান হলে, k এর মান লিখি ।
সমাধানঃ kx2+2x+3k=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি =-(x এর সহগ)/(x2 এর সহগ)= -2/k
kx2+2x+3k=0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = (x এর সহগ) /(x2 এর সহগ) =3k/k =3
kx2+2x+3k=0 (k≠0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুনফল সমান
∴ `-\frac2{k}=3`
বা, 3k = -2
বা, k = `\frac{-2}{3}`
∴ k এর মান `\frac{-2}{3}`
(iii) x2-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে, (α-β) এর মান লিখি ।
সমাধান:
x2-22x+105=0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β
∴ α + β = –
= `-\frac22{1}` = 22
এবং, α × β = = `\frac105{1}` = 105
∴ (α-β)2 = (α+β)2 – 4αβ
বা, (α-β) = `\sqrt{(22)^{2}-4.105}` [ ∵ (α+β) = 22, αβ = 105 ]
বা, (α-β) = `\sqrt{484-420}`
বা, (α-β) = `\sqrt{64}`
বা, (α-β) = ±8 [Answer]
(iv) x2-x=k(2x-1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k এর মান লিখি ।
সমাধানঃ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হল
x2-x=k(2x-1)
বা, x2-x-2kx+k=0
বা, x2-(1+2k)x+k=0
x2-(1+2k)x+k=0, এই সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
= -(x এর সহগ)/(x2 এর সহগ)
= -{-(1+2k)}/1
=(1+2k)
শর্তানুসারে ,
(1+2k)=0
বা, 2k=-1
বা, k = -1/2 [Answer]
(v) x2+bx+12=0 এবং x2+bx+q =0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে,q এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
যেহেতু x2+bx+12=0 সমীকরণের একটি বীজ 2
∴ 2 , সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে
∴ (2)2+2b+12=0
বা, 4+2b+12=0
বা, 2b+16=0
বা, b = -16/2
বা, b = -8 —(i)
আবার , x2+bx+q =0 সমীকরণটির একটি বীজ 2
∴ 2, x2+bx+q =0 সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে ।
∴ (2)2+2b+q=0
বা, 4+2b+q=0
বা, 4+2(-8)+q=0 [(i) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত b এর মান বসিয়ে পাই ]
বা, 4-16+q=0
বা, q-12=0
বা, q = 12 [ উত্তর ]
Note: এই আর্টিকেলের ব্যাপারে তোমার মতামত জানাতে নীচে দেওয়া কমেন্ট বক্সে গিয়ে কমেন্ট করতে পারো। ধন্যবাদ।