এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 নিয়ে এসেছি। মাধ্যমিক গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.১ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
Quadratic Equations With One Variable
কষে দেখি 1.1
Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 Solution
1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
(i) x2-7x+2
Ans: এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2
∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
(ii) 7x5-x(x+2)
Ans: = 7x5-x -2x
এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5
∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়
(iii) 2x (x+5)+1
Ans: = `2x^{2}+10x+1`
এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2
∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা
(iv) 2x-1
Ans: এই বহুপদী সংখ্যামালায় x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 1
∴ এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়
2. নীচের সমীকরণগুলির কোনটি `ax^{2}+bx+c=0`, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
`(i) x-1+\frac{1}{x}=6, (x ≠ 0)`
Ans: বা, `x+\frac{1}{x}=6+1`
বা, `\frac{x^{2}+1}{x}=7`
বা, `x^{2}+1=7x`
বা, `x^{2}-7x+1=0` —(i) নং সমীকরণ
∴ (i) নং সমীকরণকে `ax^{2}+bx+c ` আকারে লেখা যায় যেখানে a=1, b= -7, c=1,
(ii) `x+\frac{3}{x}=x^{2},(x ≠ 0)`
Ans: বা, `\frac{x^{2}+3}{x}=x^{2}`
বা, `x^{2}+3=x^{3}`
বা, `x^{3}=x^{2}+3`
বা, `x^{3}-x^{2}-3=0` —(ii) নং সমীকরণ
∴ (ii) নং সমীকরণকে `ax^{2}+bx+c=0 ` আকারে প্রকাশ করা যাবে না
`(iii) x^{2}-6\sqrt{x+2=0}`
Ans : বা, `x^{2}+2=6 \sqrt{x}`
বা, `(x^{2}+2) ^{2} =(6 \sqrt{x})^{2}` [ উভয় পাশে বর্গ করে পাই ]
বা, `(x^{2})^{2}+2.x^{2}.2+2^{2}=36x`
বা, `x^{4}+4x^{2}+4=36x`
বা, `x^{4}+4x^{2}-36x+4=0` —— (iii) নং সমীকরণ
∴ (iii) নং সমীকরণকে `ax^{2}+bx+c=0 ` আকারে প্রকাশ করা যাবে না
`(iv) (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4`
Ans : বা, `x^{2}-2.x.2+2^{2}=x^{2}-4x+4`
বা, `x^{2}-4x+4=x^{2}-4x+4`
বা, `\cancel {x^{2}}- \cancel {4x}+ \cancel {4}- \cancel {x^{2}}+ \cancel {4x}- \cancel {4}=0`
∴ 0=0
এটি একটি আভেদ সমীকরণ নয়
∴ এটি কে `ax^{2}+bx+c=0 ` আকারে প্রকাশ করা যাবে না
3. `x^{6}-x^{3}-2=0` সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
Ans : `x^{6}-x^{3}-2=0`
বা, `(x^{3})^{2}-x^{3}-2=0` [ ধরি `x^{3}` =y ]
বা, `y^{2}-y-2=0`
∴ `y^{2}-y-2=0` সমীকরণটি ` x^{3} ` সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ l
4. (i) (a-2)x2+3x+5= 0 সমীকরণটি a-এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি।
Ans: (a-2)x2+3x+5= 0
এখানে x2 এর সহগ (a-2) =0 হলে এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না
(a-2)x2+3x+5= 0
বা, 2-2x2 +3x+5=0
বা, 0.x2 +3x+5=0
বা, 0+3x+5=0
বা, 3x+5=0
∴ প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না যখন a=2 হবে l
4.(ii) `\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}` , (x ≠ 0, x ≠ 4) -কে ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি।
Ans: `\frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x}` , (x ≠ 0, x ≠ 4)
বা, 3x2 =4-x
বা, 3x2 +x -4=0 —–>(i) নং সমীকরণ
∴ (i) নং সমীকরণকে `ax^{2}+bx+c=0 ` আকারে প্রকাশ করলে x-এর সহগ হবে =1
4.(iii) 3x2+7x+23 = (x+4) (x+3)+2-কে ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করি।
Ans: 3x2+7x+23 = (x+4) (x+3)+2
বা, 3x2+7x+23 = x2+3x+4x+12+2
বা, 3x2+7x+23 = x2+3x+7x+14
বা, 3x2 -x2+`\cancel{7x }-\cancel{7x}` +23 -14=0
বা, 2x2+9=0
বা, 2x2+0.x+9=0
∴ 2x2+0.x+9=0 এটি ax2+bx+c=0 সমীকরণ আকারে l
4.(iv) (x+2)3= x(x2-1) সমীকরণটিকে ax2+bx+c = 0 (a ≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x2, x ও y0 -এর সহগ লিখি।
Ans: (x+2)3= x(x2-1)
বা, x3 +3x22+3×22+23=x3-x
বা, x3 +6x2+12x+8=x3-x
বা, `\cancel{x^{3}}-\cancel{x^{3}}`+6x2+12x+x+8=0
বা, 6x2+13x+8=0
∴ 6x2+13x+8=0 এই সমীকরণটি ax2+bx+c = 0 এর আকারে প্রকাশ করা হল
এবং এখানে x2 -এর সহগ =6, x -এর সহগ =13, `x^{0}` -এর সহগ =8
5. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) 42-কে এমন দুটি অংশে বিভক্ত করি যাতে এক অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয়।
Ans:
ধরি একটি অংশ = x
∴ অপর অংশ হবে (42-x)
∴ প্রশ্নানুসারে x2 =42-x
বা, x2+x-42=0
∴ x2+x-42=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143
Ans:
ধরি একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা =x
অপর সংখ্যাটি হবে x+2
∴ প্রশ্নানুসারে x(x+2)=143
বা, x2 +2x-143=0
∴ x2 +2x-143=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
(iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 313
Ans: ধরি দুটি ক্রমিক সংখ্যা = x , x+1
∴ প্রশ্নানুসারে (x)2 +(x+1)2 = 313
বা, x2 + x2 +2.x.1+12 = 313
বা, 2x2+2x+1-313 = 0
বা, 2x2+2x-312 = 0
বা, 2(x2+x-156 ) = 0
বা, x2+x-156 = 0
∴ নির্ণেয় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি হল = x2+x-156 =0
6. নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
(i) একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি।
Ans: ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য =x+3
∴ প্রশ্নানুসারে x2 +(x+3)2 = 152
বা, x2+x2 +2.x.3+32 =225
বা, 2x2+6x+9-225 = 0
বা, 2x2+6x-216=0
বা, 2( x2+3x-108 ) = 0
বা, x2+3x-108 = 0
∴ x2+3x-108 = 0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায় কয়েক কিগ্রা, চিনি ক্রয় করলেন। যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা, চিনি বেশি পেতেন, তবে তার কিগ্রা, প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতাে।
Ans: ধরি, ঐ ব্যক্তি x কিগ্রা চিনি 80 টাকায় কিনেছেন
∴ x কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য = 80 টাকা
1 কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য `\frac{80}{x}` টাকা
আবার, x+4 কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য = 80 টাকা
1 কিগ্রা চিনির ক্রয় মূল্য `\frac{80}{x+4}` টাকা
∴ প্রশ্নানুসারে `\frac{80}{x}`-`\frac{80}{x+4}`=1
বা, `\frac{ \cancel {80x}+320-\cancel {80x}}{x(x+4)}`=1
বা, `\frac{320}{x^{2}+4x}`=1
বা, x2+4x = 320
বা, x2+4x-320 =0
∴ x2+4x-320 =0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(iii) দুটি স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি.। একটি ট্রেন প্রথম স্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় স্টেশনে গেল।ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় স্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগত।
Ans: ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ = x কিমি/ঘণ্টা
∴ x কিমি/ঘণ্টা গতিবেগে 300 কিমি যেতে সময় লাগে = `\frac{300}{x}`
এবং x+5 কিমি/ঘণ্টা গতিবেগে 300 কিমি যেতে সময় লাগে = `\frac{300}{x+5}`
∴ প্রশ্নানুসারে `\frac{300}{x}`-`\frac{300}{x+5}`=2
বা, `\frac{ \cancel {300x}+1500-\cancel {300x}}{x(x+5)}`=2
বা, `\frac{1500}{x^{2}+5x}`=2
বা, 2x2+10x = 1500
বা, 2x2+10x-1500=0
বা, 2( x2+5x-750 ) = 0
বা, x2+5x-750 = 0
∴ x2+5x-750 = 0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন। তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হলাে।
Ans:
Ans: ধরি, ঘড়িটির ক্রয় মূল্য = x টাকা
লাভ হয়েছে = (336-x)
∴ প্রশ্নানুসারে 336 – x = এর x %
বা, 336 – x = `x \times\frac{x}{100}`
বা, 336 – x = `\frac{x^{2}}{100}`
বা, x2=33600-100x
বা, x2+100x-33600=0
∴ x2+100x-33600=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(v) স্রোতের বেগ ঘণ্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ওই দূরত্ব ফিরে আসতে 10 ঘণ্টা সময় লাগে।
Ans: ধরি, স্থির জলে নৌকার গতিবেগ =x কিমি/ঘণ্টা
এবং স্রোতের বেগ = 2 কিমি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকারী বেগ = (x+2) কিমি/ঘণ্টা
এবং স্রোতকূলে প্রতিকূলে নৌকার কার্যকারী বেগ = (x-2) কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে 21 যেতে সময় লেগেছে = `\frac{21}{x+2}`
স্রোতকূলে প্রতিকূলে 21 যেতে সময় লেগেছে = `\frac{21}{x-2}`
∴ প্রশ্নানুসারে `\frac{21}{x+2}` + `\frac{21}{x-2}` =10
বা, `\frac{21x-\cancel {42}+21x+ \cancel {42}}{(x+2)(x-2)}` =10
বা, `\frac{42x}{x^{2}-\cancel {2x}+ \cancel {2x} -4}` =10
বা, `\frac{42x}{x^{2}-4}` =10
বা, 10x2-40=42x
বা, 10x2-42x-40=0
বা, 2( 5x2-21x-20 ) = 0
বা, 5x2-21x-20 = 0
∴ 5x2-21x-20 = 0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায় শেষ করতে পারে।
Ans: ধরি, মহিম মোট কাজ = 1 অংশ করে x ঘণ্টায়
এবং মজিদ মোট কাজ = 1 অংশ করে x+3 ঘণ্টায়
∴ মহিম x ঘণ্টায় করে 1 অংশ
মহিম 1 ঘণ্টায় করে `\frac{1}{x}` অংশ
মজিদ x+3 ঘণ্টায় করে 1 অংশ
মজিদ 1 ঘণ্টায় করে `\frac{1}{x+3}` অংশ
∴ দুজনে একসঙ্গে 1 ঘণ্টায় করে `\frac{1}{x}` + `\frac{1}{x+3}`
= `\frac{x+3+x}{x(x+3)}`
= `\frac{2x+3}{x^{2}+3x}`
দুজনে একসঙ্গে 2 ঘণ্টায় করে `\frac{2(2x+3)}{x^{2}+3x}`
`\frac{4x+6}{x^{2}+3x}`
∴ প্রশ্নানুসারে `\frac{4x+6}{x^{2}+3x}` =1
বা, x2+3x = 4x+6
বা, x2+3x-4x-6 = 0
বা, x2 -x-6=0
∴ x2 -x-6=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
Ans: ধরি, দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x
∴ একক স্থানীয় অঙ্কটি = x+6
∴ সংখ্যাটি 10x+x+6
= 11x+6
∴ প্রশ্নানুসারে, x(x+6) = (11x+6)-12
বা, x2+6x = 11x+6-12
বা, x2+6x-11x+6 = 0
বা, x2-5x+6 = 0
∴ x2-5x+6 = 0
∴ x2-5x+6=0 এটি নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ l
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
Ans: যেহেতু মাঠটির দৈর্ঘ্য = 45 মি. এবং প্রস্থ = 40 মি.
∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = 45×40 = 1800 বর্গমি.
মনে করি, রাস্তাটি চওড়া = x মি.
∴ রাস্তাসহ মাঠটির দৈর্ঘ্য = 45+2x মি.
এবং রাস্তাসহ মাঠটির প্রস্থ = 40+2x মি.
এবং রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (45+2x)(40+2x)
∴ প্রশ্নানুসারে, (45+2x)(40+2x)-1800 = 450
বা, `\cancel1800`+90x+80x+4x2-`\cancel1800`-450 = 0
বা, 4x2+170x-450 = 0
বা, 2(2x2+85x-225) = 0
বা, 2x2+85x-225 = 0
∴ 2x2+85x-225 = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ l
Read Also:
Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.1 সমাধান
Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.2 সমাধান
Article Written by – Chandra Nath Das
SEO by – Gouranga Das
Post Thumbnail by – Chiranjit Das
Note: এই আর্টিকেলের ব্যাপারে তোমার মতামত জানাতে নীচে দেওয়া কমেন্ট বক্সে গিয়ে কমেন্ট করতে পারো। ধন্যবাদ।