Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 Madhyamik Mathematics Solution WBBSE । দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩

এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 নিয়ে এসেছি। Class Ten Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 Answer solve | Class X Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 | মাধ্যমিক গণিতের প্রথম অধ্যায় একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কষে দেখি ১.৩ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

Quadratic Equations With One Variable

কষে দেখি ১.৩ 

Dighat Somikoron Koshe Dekhi 1.3 Solution

1. দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117 । সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি ।

Ans:

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার অন্তর 3

ধরি, একটি সংখ্যা x

∴ অন্য সংখ্যা টি হবে (x+3)

শর্তানুসারে,

x2 +(x+3)2 =117

বা, x2 + x2 + 2(x)(3)+ (3)² =117

বা, 2x²+6x+9-117=0

বা, 2x²+6x-108=0

বা, x²+3x-54=0

বা, x²+(9-6)x-54=0

বা, x²+9x-6x-54=0

বা, x(x+9)-6(x+9)=0

বা, (x+9)(x-6)=0

∴ দুটি রাশির গুনফল শূন্য

হয় (x+9)=0

বা, x=-9

অথবা (x-6)=0

বা, x=6

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক অতএব x এর ঋণাত্মক মান কে অগ্রাহ্য করে পাই

∴ সংখ্যা দুটি হলও 6 এবং 6+3=9

2 একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মিটার বেশি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 300 বর্গমিটার হলে তার উচ্চতা নির্ণয় করি ।

Ans:

ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা  X মিটার ।

∴  ত্রিভুজের ভূমি =(2X+18)মিটার এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 360 বর্গমিটার

শর্তানুসারে,

  1/2 × (2X+18)× X= 360 [যেহেতু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =½ ×ভূমি ×উচ্চতা ]

 বা, x(2x+18)=2×360

বা, 2x²+18x=720

বা, 2x²+18x-720=0

বা, x²+9x-360=0 [ উভয় পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই ]

বা, x²+(24-15)x-360=0

বা, x²+24x-15x-360=0

বা, x(x+24)-15(x+24)=0

বা, (x+24)(x-15)=0

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য

হয় (x+24)=0

বা, x=-24

অথবা (x-15)=0

বা, x=15

যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না

∴ x= 15

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 15 মিটার ।

3. যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার  পাঁচ গুণ,  তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা  3 কম হয়  তবে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

Ans:

ধরি,  সংখ্যাটি হল x [ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা]

 শর্তানুসারে,

  2x²-5x=3

বা, 2x²-5x-3=0

বা, 2x²-(6-1)x-3=0

বা, 2x²-6x+x-3=0

বা, 2x(x-3)+1(x-3)=0

বা, (x-3)(2x+1)=0

যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য

∴ হয় (x-3)=0

বা, x=3

অথবা (2x+1)=0

বা, x=-1/2

 যেহেতু x একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।

  ∴ x =3

 ∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল 3 

 4. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি ;  এক স্থান হতে অপর স্থানে  মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে  জীপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে  2 ঘণ্টা সময় কম লাগে । মোটরগাড়ি অপেক্ষা জিপ গাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি ।

Ans:

ধরি, মোটরগাড়ি গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা

 ∴ জিপগাড়ির গতিবেগ (x+5)কিমি/ঘন্টা

এবং, অতিক্রান্ত দূরত্ব =200 কিমি

∴  200 কিমি অতিক্রম করতে মােটর গাড়ির সময় লাগে `\frac{200}{x}` ঘণ্টা

এবং , 200 কিমি অতিক্রম করতে জিপগাড়ির সময় লাগে `\frac{200}{x+5}` ঘণ্টা

 শর্তানুসারে ,

`frac{200}{x} – frac{200}{(x+5)}= 2`

বা, `frac{200(x+5)-200x}{x(x+5)}= 2`

বা, `frac{200x+1000-200x}{x(x+5)}= 2`

বা,1000=2x(x+5)

বা,1000= 2x²+10x

বা, 2x² +10x-1000=0

বা, x² +5x-500=0

বা, x² +(25-20)x-500=0

বা, x² +25x-20x-500=0

বা,x(x+5)-20(x+5)=0

বা,(x+5) (x-20) = 0

যেহেতু দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য

∴ হয় (x-20)=0

বা, x=20

অথবা (x+25)=0

বা, x=-25

এক্ষেত্রে গতিবেগের মান ঋণাত্মক হতে পারেনা

∴ x = 20

∴ মোটরগাড়ি গতিবেগ 20 কিমি/ঘন্টা ।

5. অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার  জমির  ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার । অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

Ans:

অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার 

 ধরি, অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য  x মিটার অতএব প্রস্থ

 (180 /2) – দৈর্ঘ্য =(90-x) মিটার

শর্তানুসারে,

x(90-x)=2000

 বা, 90x-x² =2000

 বা, x²-90x+2000=0

 বা, x²-(50+40)x+2000=0

 বা, x²-50x-40x+2000=0

 বা, x(x-50)-40(x-50)=0

বা, (x-50)(x-40)=0

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয় (x-50)=0

বা, x=50

অথবা, (x-40)=0

বা, x=40

∴আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য = 50 মিটার এবং প্রস্থ = (90-50) মিটার =40 মিটার।

6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার  দশকের ঘরের অংক এককের ঘরের  অংক অপেক্ষা 3 কম । সংখ্যাটি থেকে উহার অংক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয় । সংখ্যাটির একক ঘরের অংক হিসাব করে লিখি ।

Ans:

ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অংক x

∴ সংখ্যাটির দশকের ঘরের অংক (x-3)

∴ সংখ্যাটি হবে =10(x-3)+x =11x-30

যেহেতু সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্কদ্বয়ের গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়

∴ (11x-30)-x(x-3)=15

বা, 11x-30-x²+3x-15=0

 বা, -x²+14x-45=0

 বা, x²-14x+45=0

 বা, x²-(9+5)x+45=0

 বা,x²-9x-5x+45=0

 বা, x(x-9)-5(x-9)=0

 বা,(x-9)(x-5)=0

দুটি সংখ্যার গুনফল শূন্য

হয় (x-9)=0

বা, x=9

অথবা, (x-5)=0

বা, x=5

∴ এককের ঘরের অঙ্ক হল 5 অথবা 9 ।

 7. আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি (11পূর্ণ 1/9) মিনিটে পূর্ণ হয় ।যদি নল দুটি আলাদা ভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয় ,প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চা থেকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি ।

Ans:

ধরি, চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নলের সময় লাগে x মিনিট অতএব  অপর নলের সময় লাগবে (x+5) মিনিট ।

ধরি,  সমগ্র চৌবাচ্চা =1 অংশ

∴ প্রথম নল x মিনিটে পূর্ন করে 1 অংশ 

প্রথম নল 1 মিনিটে পূর্ন করে `\frac{1}{x}` অংশ 

আবার , দ্বিতীয় নল (x+5) মিনিটে পূর্ন করে 1 অংশ | 

দ্বিতীয় নল 1 মিনিটে পূর্ন করে `\frac{1}{x+5}` অংশ 

∴ দুটি নল একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে `(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})` অংশ 

অর্থাৎ দুটি নল একত্রে `11\frac{1}{9}` মিনিটে পূর্ন করে `11\frac{1}{9}( \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+5})` অংশ

 শর্তানুসারে,

`11\frac{1}{9}( \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+5})` = 1

বা,  `\frac{100}{9}( \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+5})` = 1

বা,  `\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{9}{100}`

বা, `\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{9}{100} `

বা, `\frac{2x+5}{x(x+5)} = \frac{9}{100}`

বা, 100(2x+5)=9x(x+5)

বা, 20x+500=9x²+45x

বা,  9x²+45x -200x-500=0

বা,  9x² -155x-500=0

বা,  9x² -(180-25)x-500=0

বা, 9x² -180x+25x-500=0

বা, 9x(x-20)+25(x-20) =0

বা,  (x-20) (9x+25)=0

যেহেতু দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয় (x-20)=0

বা, x=20

অথবা, (9x+25)=0

বা, x=-25/9

সময় ঋণাত্মক হওয়া অসম্ভব

∴ x=20

অর্থাৎ একটি নল চৌবাচ্চা পূর্ণ করে 20 মিনিটে

∴ অপর নল চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে (20+5) মিনিটে = 25 মিনিটে

8. পর্ণা ও পীযূষ  কোন একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে । আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্নার যে সময় লাগবে , পীযুষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে ।  পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করবে  করতে পারবে হিসাব করে লিখি ।

Ans:

ধরি , পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারে x দিনে

∴ প্রদত্ত শর্তানুসারে পীযুষের সময় লাগবে (x+6) দিন

 ধরি, সমগ্র কাজ = 1 অংশ

পর্না x দিনে কাজ করে 1 অংশ

পর্না 1 দিনে কাজ করে `\frac{1}{x}` অংশ 

এবং , পীযুষ (x+6) দিনে কাজ করে 1 অংশ 

পীযুষ 1 দিনে কাজ করে `\frac{1}{x+6}`অংশ . 

∴ তারা একত্রে 1 দিনে মােট কাজ করে  `(\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6})` অংশ

∴ তারা একত্রে 4 দিনে মােট কাজ করে 4`(\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6})` অংশ

শর্তানুসারে,

4 `(\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6})` =1

বা,`\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}`

বা,`\frac{x+6+x}{x(x+6)} = \frac{1}{4}`

বা, `\frac{2x+6}{x(x+6)} = \frac{1}{4}`

বা,4(2x+6)= x(x+6)

বা,8x+24=x²+6x

বা, x²+6x-8x-24=0

বা, x² -2x-24=0

বা, x² -(6-4)-24=0

বা, x² -6x+4x-24=0

বা, x(x-6)+4 (x-6) =0

বা, (x-6) (x+4) =0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয় (x-6)=0

বা, x=6

অথবা, (x+4)=0

বা, x=-4

যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারেনা ।

X=6

∴পর্ণা একাকী কাজটি করতে পারবে 6 দিনে ।

9. কলমের মূল্য প্রতি  ডজনে 6  টাকা কমলে 30 টাকায় আরো তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি ।

Ans:

ধরি, প্রতি ডজন কলমের মূল্য  x টাকা ।

∴ x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম

1 টাকায় পাওয়া যায় `\frac{12}{x}`টি কলম 

30 টাকায় পাওয়া যায়  `\frac{30×12}{x}` টি কলম = `\frac{360}{x}`টি কলম

 দাম হ্রাস পাওয়ার পরে প্রতি ডজন কলমের মূল্য (x-6) টাকা

∴ (x-6) টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম

1 টাকায় পাওয়া যায় `\frac{12}{x-6}` টি কলম

এবং,30 টাকায় পাওয়া যায় `\frac{12×30}{x-6}` টি কলম = `\frac{360}{x-6}` টি কলম

শর্তানুসারে ,

`\frac{360}{x-6}-\frac{360}{x}` = 3

বা, 360`(\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x})` = 3

বা, `\frac{1}{x-6}- \frac{1}{x} = \frac{3}{360} `

বা, ` \frac{x-(x-6)}{ x(x-6) } = \frac{1}{120} `

বা,  ` \frac{6}{ x(x-6) } = \frac{1}{120} `

বা, 720= x(x-6)

বা, x²-6x=720

বা,  x² -6x-720=0

বা, x² -(30-24)x-720=0

বা, x² -30x-24x-720=0

বা, x(x-30)+24 (x-30) =0

বা,  (x-30) (x+24) = 0

দুটি রাশির গুনফল শূন্য

∴ হয় (x-30)=0

বা, x=30

অথবা, (x+24)=0

বা, x=-24

কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারেনা , সুতরাং x=30

অর্থাৎ প্রতি ডজন কলমের মূল্য 30 টাকা ।

10. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A) :-

(A)  বহুবিকল্পীয়  প্রশ্ন (MCQ)

(i)  একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ এর সংখ্যা

(a) একটি

(b) দুটি

(c) তিনটি

(d) কোনোটিই নয়

Ans:  (b) দুটি  

(ii) ax²+bx+c=0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে

(a) b≠0 

(b) c≠0 

(c) a≠0 

(d) কোনোটিই নয়

Ans:(c )  a ≠ 0

(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত

(a) 1 

(b) 2 

(c) 3 

(d) কোনোটিই নয়

Ans: (b)   2 

(iv) 4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3) সমীকরণটি

(a) রৈখিক

(b) দ্বিঘাত

(c) ত্রিঘাত

(d) কোনোটিই নয়

Ans: (a) রৈখিক

4(5x²-7x+2)=5(4x²-6x+3)

বা, 20x²-28x+8=20x²-30x+15

বা, 20×2 -20×2 -28x+30x+8-15=0

বা, 2x-7=0 [এটি একটি রৈখিক সমীকরণ ]

(v) x²/x =6 সমীকরণের বীজ/বীজদ্বয়

(a) 0 

(b)6

(c) 0 ও 6

(d) -6

Ans:  (b) 6

(B )নিচের বিবৃতি গুলোর সত্য না মিথ্যা লিখি :-

(i) (x-3)2 = x2-6x+9  একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

Ans: প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।

 (x-3)2 = x2-6x+9 

বা, x2-2.x.3 +32=x2-6x+9

বা, x2-6x+9= x2-6x+9

∴ এটি একটি অভেদ ।

 (ii) x²=25  সমীকরণের একটি মাত্র  বীজ 5

∴ প্রদত্ত উক্তিটি মিথ্যা ।

(c ) শূন্যস্থান পূরণ করি :-

 (i) যদি ax²+bx+c=0 সমীকরণটির a=0 এবং b≠0 হয় , তবে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণ ।

 (ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তবে সমীকরণটি হল  x²-2x+1=0

 (iii) x²=6x সমীকরণের বীজদ্বয় 0 ও 6

 11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A):-

 (i) x²+ax+3=0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a- এর মান নির্ণয় করি ।

Ans:  x²+ax+3=0  সমীকরণের একটি বীজ  1

∴ (1)²+a(1)+3=0

  বা, 1+a+3=0

বা, a= -4

 (ii) x²-(2+b)x+6=0 সমীকরণের  একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান  লিখি ।

Ans:  

x²-(2+b)x+6=0  সমীকরণের একটি বীজ 2

ধরি, অপর বীজ = a

∴ 2a=6 [ ∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/ x² -এর সহগ ]

বা, a = 6/2

বা, a = 3

∴ অপর বীজটির মান = 3

 (iii) 2x²+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে , অপর বীজটির মান লিখি ।

Ans: 

ধরি, অপর বীজ = a

∴ 2a= 4/2 [ ∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/ x² -এর সহগ ]

বা, 2a= 2

বা, a = 1

∴ অপর বীজটির মান =1 ।

(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার  অনোন্যক -এর অন্তর 9/20; সমীকরণটি লিখি ।

Ans: 

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশ টি হল x

∴ তার অনোন্যক হবে 1/x

শর্তানুসারে,

`x-\frac{1}{x}= \frac{9}{20}`

বা, `\frac{x^{2}-1}{x}=\frac{9}{20}`

বা, 20(x²-1)= 9x

বা, 20x²-20 = 9x

বা, 20x²-9x-20=0

∴ সমীকরণ টি হল  20x²-9x-20=0 ।

 (v) ax²+bx+35=0  সমীকরণের বীজদ্বয় -5  ও -7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি ।

Ans:

-5 × (-7) = 35/a  [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুনফল = ধ্রুবক পদ/ x² -এর সহগ ]

বা, 35 = 35/a

বা, a= 35/35

বা, a =1

আবার -5+(-7) = -b/a [∵ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল = -(x-এর সহগ /x² -এর সহগ)]

বা, -5-7 = -b/1

বা, -12 =-b

বা, b =12

∴ a-এর মান 1 এবং b-এর মান 12 ।