এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.1 নিয়ে এসেছি। Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.1 Answer solve | Class X Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.1 | মাধ্যমিক গণিতের পঞ্চম অধ্যায় অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.১ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।
অনুপাত ও সমানুপাত
Ratio and Proportion
অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.১
Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.1 Solution
1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত, লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখি :
(i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
উত্তর: 4 মাস ও 1 বছর 6 মাসের অনুপাত
= 4: (12+6)
= 4 : 18
= 2:9
2:9 < 1 , সুতরাং অনুপাতটি লঘু অনুপাত ।
(ii) 75 পয়সা ও 1 টাকা 25 পয়সা
উত্তর: 75 পয়সা ও 1 টাকা 25 পয়সার অনুপাত
= 75 : (100+25)
= 75:125
= 3:5
এখন 3:5 অনুপাতটি 1 অপেক্ষা ছোটো সুতরাং এটি একটি লঘু অনুপাত ।
(iii) 60 সেমি এবং 0.6 মিটার
উত্তর: 60 সেমি এবং 0.6 মিটার এর অনুপাত
= 60 : (0.6☓100)
= 60:60
= 1:1
∴ প্রদত্ত অনুপাত টি একটি সাম্যানুপাত ।
(iv) 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম
উত্তর: 1.2 কিগ্রা এবং 60 গ্রাম এর অনুপাত
= (1.2 ✕ 1000) : 60
= 1200:60
= 20:1
যেহেতু অনুপাতটি 1 অপেক্ষা বড় তাই অনুপাতটি একটি গুরু অনুপাত ।
2(i) p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাতটি লিখি
উত্তর: p কিগ্রা ও q গ্রামের অনুপাত টি হল
= p✕1000 : q
= 1000p:q
2(ii)x দিন ও z মাসের মধ্যে কখন অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব হবে লিখি
উত্তর: x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় তখনই করা যাবে যখন তাদের একক সমান হবে অর্থাৎ তাদের একক যদি মাস অথবা দিনে প্রকাশ করা হয় তখন তাদের অনুপাত নির্ণয় করা সম্ভব হবে ।
2(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কি ধরনের অনুপাত হবে লিখি
উত্তর: ধরি একটি অনুপাত a:b
∴ তার ব্যাস্ত অনুপাত = b:a
এখন এদের মিশ্র অনুপাত= ab :ba = 1:1 যা একটি সাম্যানুপাত
2(iv) (`\frac{a}{b}`):c , (`\frac{b}{c}`):a , (`\frac{c}{a}`):b এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।
উত্তর: প্রদত্ত অনুপাত গুলির মিশ্র অনুপাত
= `(\frac{a}{b}×\frac{b}{c}×\frac{c}{a})`:cab
= 1:abc
2(v) x2 : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy:z2 হবে হিসাব করে লিখি ।
উত্তর: ধরি, x2 : yz এবং a:b মিশ্র অনুপাত xy:z2 হবে হিসাব করে লিখি ।
∴ ax2 : byz = xy:z2
বা, `\frac{ax^{2}}{byz} =\frac{xy}{z^{2}}`
বা, `\frac{a}{b} = \frac{xy}{z^{2}}×\frac{yz}{x^{2}}`
বা, `\frac{a}{b}=\frac{y^{2}}{xz}`
বা, a:b = y2 : xz
∴ x2 : yz এবং y2 : xz এদের মিশ্র অনুপাত হবে xy:z2
2(vi) x2 : `\frac{yz}{x}` , y2 :`\frac{zx}{y}` , z2 : `\frac{yx}{z}` অনুপাতগুলির ব্যাস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ।
উত্তর: x2 : `\frac{yz}{x}` অনুপাতটির ব্যাস্ত অনুপাত `\frac{yz}{x}`: x2
y2 : `\frac{zx}{y}` অনুপাতটির ব্যাস্ত অনুপাত `\frac{zx}{y}` :y2
z2 : `\frac{yx}{z}` অনুপাতটির ব্যাস্ত অনুপাত `\frac{yx}{z}` : z2
এখন ব্যাস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত
`\frac{yz}{x}×\frac{zx}{y}×\frac{xy}{z}` : x2×y2×z2
=xyz:x2 y2 z2
=1:xyz
3.নিম্নলিখিত গুলির মিশ্র অনুপাত বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ঃ
(i) 4:5 , 5:7 এবং 9:11
উত্তর: প্রদত্ত অনুপাত গুলির মিশ্র অনুপাত
= (4×5×9) : (5×7×11)
= 180 : 385
= 36:77
(ii) (x+y) : (x-y) , (x2+y2) : (x+y)2 এবং (x2-y2) : (x4-y4)
উত্তর: প্রদত্ত অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত
`(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})^{2}:(x-y)(x+y)^{2}(x^{4}-y^{4})`
= `\frac{(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})^{2}}{(x-y)(x+y)^{2}(x^{4}-y^{4})}`
=`\frac{(x+y)(x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}(x-y)^{2}}{(x-y)(x+y)^{2}(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})}`
=`\frac{(x+y)(x^{2}+y^{2})(x+y)^{2}(x-y)^{2}}{(x-y)(x+y)^{2}(x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y)}`
=`\frac{(x+y)^{3}(x^{2}+y^{2})(x-y)^{2}}{(x+y)^{3}(x^{2}+y^{2})(x-y)^{2}}`
=1:1
4(i) A:B = 6:7 এবং B:C = 8:7 হলে A:C নির্ণয় করি ।
উত্তর: A:B=6:7
`\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{6}{7}`
B:C=4:5
`\Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{4}{5}`
∴ `\frac{A}{B}×\frac{B}{C}=\frac{6}{7}×\frac{4}{5}`
`\Rightarrow\frac{A}{C}=\frac{24}{35}`
`\Rightarrow A:C=24:35`
4(ii) যদি A:B = 2:3, B:C= 4:5 এবং C:D= 6:7 হয় তবে A:D এর মাণ নির্ণয় করি ।
উত্তর: A:B=2:3
` \Rightarrow \frac{A}{B}={2}{3}`
B:C=4:5
`\Rightarrow \frac{B}{C}=\frac{4}{5}`
C:D=6:7
` \Rightarrow \frac{C}{D}=\frac{6}{7}`
∴`\frac{A}{\cancelB}×\frac{\cancelB}{\cancelC}×\frac{\cancelC}{D}=\frac{2}{\cancel3}×\frac{4}{5}×\frac{\cancel6^{2}}{7}`
`\Rightarrow \frac{A}{D}=\frac{16}{35}`
∴ A:D=16:35
4(iii) যদি A:B=3:4 এবং B:C = 2:3 হয় তাহলে A:B:C নির্ণয় করি ।
উত্তর: A:B=3:4
B:C=2:3=4:6
∴ A:B:C=3:4:6
4(iv) x:y=2:3 এবং y:z = 4:7 হলে , x:y:z নির্ণয় করি ।
উত্তর: x:y = 2:3 = 8:12
এবং y:z= 4:7=12:21
∴ x:y:z = 8:12:21
5(i) x:y = 3:4 হলে , (3y-x) : (2x+y) কত হবে নির্ণয় করি ।
উত্তর: ধরি , x = 3k এবং y = 4k [k ≠ 0 একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
(3y-x):(2x+y)
=`\frac{3y-x}{2x+y}`
=`\frac{3(4k)-3k}{2(3k)+4k}`
=`\frac{12k-3k}{6k+4k}`
=`\frac{9k}{10k}`
=`\frac{9}{10}`
∴ (3y-x):(2x+y) = 9:10
5(ii) a:b= 8:7 হলে, দেখাই যে (7a-3b): (11a-9b) = 7 : 5
উত্তর: ধরি , a = 8k এবং b = 7k [ যেখানে k ≠ 0 একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
(7a-3b):(11a-9b)
=`\frac{7a-3b}{11a-9b}`
=`\frac{7(8k)-3(7k)}{11(8k)-9(7k)}`
=`\frac{56k-21k}{88k-63k}`
=`\frac{35k}{25k}`
=`\frac{7}{5}`
∴ (7a-3b):(11a-9b) = 7:5 [Proved]
5(iii) p:q=5:7 এবং p-q=-4 হলে , 3p+4q এর মাণ নির্ণয় করি ।
উত্তর: ধরি, p= 5k এবং q = 7k [ k ≠ 0 একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
p-q = -4
বা, 5k-7k = -4
বা, -2k = -4
বা, k = 2
∴ p =5k=10 এবং q=7k=14 [যেহেতু,k = 2]
∴ 3p+4q
= 3(10)+4(14)
= 30 +56
= 86
∴ 3p+4q=86
6(i) (5x-3y) : (2x+4y) = 11:12 হলে , x:y এর মাণ কত ?
উত্তর:
(5x-3y) : (2x+4y) = 11:12
বা, `\frac{5x-3y}{2x+4y}=\frac{11}{12}`
বজ্রগুণন করে পাই ,
12(5x-3y)=11(2x+4y)
বা, 60x-36y = 22x +44y
বা, 60x-22x = 44y+36y
বা, 38x = 80y
বা,`\frac{x}{y}=\frac{80}{38}`
বা,`\frac{x}{y}=\frac{40}{19}`
বা, x:y = 40:19
∴ x:y = 40:19
6(ii) (3a+7b) : (5a-3b) = 5:3 হলে , a : b এর মাণ নির্ণয় করি ।
উত্তর:
(3a+7b) : (5a-3b) = 5:3
বা, `\frac{3a+7b}{5a-3b}=\frac{5}{3}`
বা, 3(3a+7b) = 5(5a-3b)
বা, 9a+21b = 25a – 15b
বা, 9a -25a = -21b-15b
বা, -16a = -36b
বা, `\frac{a}{b}=\frac{36}{16}`
বা, `\frac{a}{b}=\frac{9}{4}`
বা, a:b = 9 : 4
∴ a:b = 9 : 4
7(i) (7x-5y) : (3x+4y) = 7: 11 হলে , দেখাই যে (3x-2y) : (3x+4y) = 137: 473
উত্তর:
(7x-5y) : (3x+4y) = 7:11
বা, ` \frac{7x-5y}{3x+4y}=\frac{7}{11}`
বা, 11(7x-5y) = 7(3x+4y)
বা, 77x-55y = 21x+28y
বা, 77x-21x = 55y+28y
বা, 56x = 83y
বা, `\frac{x}{y}=\frac{83}{56}`
ধরি x = 83k এবং y = 56 k , [k (≠ 0) , একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ (3x – 2y) : (3x+4y)
=`\frac{3x-2y}{3x+4y}`
=`\frac{3(83k)-2(56k)}{3(83k)+4(56k)}`
=`\frac{249k-112k}{249k+224k}`
=`\frac{137k}{473k}`
=`\frac{137}{473}`
= 137 : 473
∴ (3x – 2y):(3x+4y) =137:473 [প্রমানিত ]
7(ii) (10x+3y) : (5x+2y) = 9:5 হলে দেখাই যে (2x+y) : (x+2y) = 11 : 13
উত্তর:
(10x+3y) : (5x+2y) = 9:5
বা, `\frac{10x+3y}{5x+2y}=\frac{9}{5}`
বা, 5 (10x+3y) = 9(5x+2y)
বা, 50x + 15y = 45x + 18y
বা, 50x-45x = 18y – 15y
বা, 5x = 3y
বা, `\frac{x}{y}=\frac{3}{5}`
ধরি , x = 3k এবং y = 5k [ যেখানে k ( ≠ 0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ (2x+y) : (x+2y)
=`\frac{2x+y}{x+2y}`
=`\frac{2(3k)+5k}{3k+2(5k)}`
=`\frac{11k}{13k}`
=`\frac{11}{13}`
= 11 : 13
∴ (2x+y) : (x+2y) = 11 : 13 [ প্রমানিত ]
8(i) 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সাথে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6:11 হবে নির্ণয় করি ।
উত্তর: ধরি 2:5 অনুপাতের উভয়পদের সাথে x যোগ করলে অনুপাতটি 6: 11 হবে
∴ (2+x) : (5+x) = 6:11
বা, `\frac{2+x}{5+x}=\frac{6}{11}`
বজ্রগুণন করে পাই ,
বা, 11 (2+x) = 6 (5+x)
বা, 22+11x = 30+6x
বা, 22-30 = -11x+6x
বা, -8 = -5x
বা, x = `\frac{8}{5}`
∴ উভয় পদের সাথে `\frac{8}{5}` যোগ করলে অনুপাত টি 6:11 হবে ।
8(ii) a:b বইষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বইষম্যানুপাতটি m:n হবে নির্ণয় করি ।
উত্তর: ধরি a : b বইষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করলে বইষম্যানুপাতটি m : n হবে ।
শর্তানুসারে ,
(a-x) : (b-x) = m : n
বা, `\frac{a-x}{b-x}=\frac{m}{n}`
বজ্রগুণন করে পাই ,
বা, n(a-x) = m(b-x)
বা, na-nx = mb-mx
বা, x (m-n) = mb-na
বা, x=`\frac{mb-na}{m-n}`
∴ a : b বইষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে `\frac{mb-na}{m-n}` বিয়োগ করলে বইষম্যানুপাতটি m : n হবে ।
8(iii) কোন সংখ্যা 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তর পদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাত টির মাণ 2 : 3 এবং 5 : 4 এর যৌগিক অনুপাত হবে ।
উত্তর: ধরি সংখ্যাটি হল x
শর্তানুসারে ,
(4+x) : (7-x) = (2✕5) : (3 ✕ 4)
বা, (4+x) : (7-x) = 5:6
বা, `\frac{4+x}{7-x}=\frac{5}{6}`
বা, 6 (4+x) = 5 (7-x)
বা, 24 +6x = 35-5x
বা , 11x = 11
বা , x = 1
∴ 1 সংখ্যাটি 4 : 7 অনুপাতের পূর্বপদের সঙ্গে যোগ এবং উত্তর পদ থেকে বিয়োগ করলে উৎপন্ন অনুপাতটির মাণ 2 : 3 এবং 5 : 4 এর যৌগিক অনুপাত হবে ।
Note: এই আর্টিকেলের ব্যাপারে তোমার মতামত জানাতে নীচে দেওয়া কমেন্ট বক্সে গিয়ে কমেন্ট করতে পারো। ধন্যবাদ।