এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.3 নিয়ে এসেছি। Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.3 Answer solve | Class X Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.3 | মাধ্যমিক গণিতের পঞ্চম অধ্যায় অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।
অনুপাত ও সমানুপাত
Ratio and Proportion
অনুপাত ও সমানুপাত কষে দেখি ৫.৩
Class 10 Anupat O Somanupat Koshe Dekhi 5.3 Solution
1. a:b = c:d হলে দেখাই যে ,
(i) (a2+b2) : (a2-b2) = (ac+bd) : (ac-bd)
উত্তর:
ধরি , a:b = c:d = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a= bk এবং c=dk
বামপক্ষ: `\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}`
= `\frac{(bk)^{2}+b^{2}}{(bk)^{2}-b^{2}}`
=`\frac{b^{2}(k^{2}+1)}{b^{2}(k^{2}-1)}`
=`\frac{k^{2}+1}{k^{2}-1}`
ডানপক্ষ: (ac+bd) : (ac-bd)
=`\frac{(ac+bd)}{(ac-bd)}`
=`\frac{(bk)(dk)+bd}{(bk)(dk)-bd}`
=`\frac{bdk^{2}+bd}{bdk^{2}-bd}`
=`\frac{bd(k^{2}+1)}{bd(k^{2}-1)}`
=`\frac{k^{2}+1}{k^{2}-1}`
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
1(ii) a:b = c:d হলে দেখাই যে , (a2+ab+b2) : (a2-ab+b2) = (c2+cd+d2) : (c2-cd+d2)
উত্তর: ধরি , a:b = c:d = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a= bk এবং c=dk
বামপক্ষঃ (a2+ab+b2) : (a2-ab+b2)
=`\frac{(a^2+ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}`
=`\frac{(bk)^{2}+(bk)b+b^{2}}{(bk)^{2}-(bk)b+b^{2}}`
=`\frac{b^{2}k^{2}+b^{2}k^{2}+b^{2}}{b^{2}k^{2}-b^{2}k^{2}+b^{2}}`
=`\frac{b^{2}(k^{2}+k+1)}{b^{2}(k^{2}-k+1)}`
=`\frac{k^{2}+k+1}{k^{2}-k+1}`
ডানপক্ষঃ (c2+cd+d2) : (c2-cd+d2)
=`\frac{c^2+cd+d^2}{c^2-cd+d^2}`
=`\frac{(dk)^{2}+(dk)d+d^{2}}{(dk)^{2}-(dk)d+d^{2}}`
=`\frac{d^{2}k^{2}+d^{2}k^{2}+d^{2}}{d^{2}k^{2}-d^{2}k^{2}+d^{2}}`
=`\frac{d^{2}(k^{2}+k+1)}{d^{2}(k^{2}-k+1)}`
=`\frac{k^{2}+k+1}{k^{2}-k+1}`
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত ]
1(iii) a:b = c:d হলে দেখাই যে , `\sqrt{a^{2}+c^{2}}:\sqrt{b^{2}+d^{2}}=(pa+pc):(pb+qd)`
উত্তর:
ধরি , a:b = c:d = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a= bk এবং c=dk
বামপক্ষঃ `\sqrt{a^{2}+c^{2}}:\sqrt{b^{2}+d^{2}}`
=`\frac{\sqrt{a^{2}+c^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}`
=`\frac{\sqrt{(bk)^{2}+(dk)^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}`
=`\frac{k\sqrt{b^{2}+d^{2}}}{\sqrt{b^{2}+d^{2}}}`
=k
ডানপক্ষঃ (pa+qc) : (pb+qd)
=`\frac{(pa+qc)}{(pb+qd)}`
=`\frac{p(bk)+q(dk)}{(pb+qd)}`
=`\frac{k(pb+qd)}{(pb+qd)}`
=k
∴ বামপক্ষ =ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
2(i) x:a = y:b = z:c হলে প্রমান করি যে ,`\frac{x^{3}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}+\frac{z^{3}}{c^{2}}=\frac{(x+y+z)^{3}}{(a+b+c)^{2}}`
উত্তর:
ধরি , x:a = y:b = z:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x= ak , y=bk, z = ck
বামপক্ষঃ `\frac{x^{3}}{a^{2}}+\frac{y^{3}}{b^{2}}+\frac{z^{3}}{c^{2}}`
=`\frac{(ak)^{3}}{a^{2}}+\frac{(bk)^{3}}{b^{2}}+\frac{(ck)^{3}}{c^{2}}`
=`\frac{a^{3}k^{3}}{a^{2}}+\frac{b^{3}k^{3}}{b^{2}}+\frac{c^{3}k^{3}}{c^{2}}`
=`k^{3}(a+b+c)`
ডানপক্ষঃ `\frac{(x+y+z)^{3}}{(a+b+c)^{2}}`
=`\frac{(ak+bk+ck)^{3}}{(a+b+c)^{2}}`
=`\frac{k^{3}(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{2}}`
=`k^{3}(a+b+c)`
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
2(ii) x:a = y:b = z:c হলে প্রমান করি যে ,`\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}=\frac{xyz}{abc}`
উত্তর:
ধরি , x:a = y:b = z:c = k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x= ak , y=bk, z = ck
বামপক্ষঃ`\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}`
=`\frac{(ak)^{3}+(bk)^{3}+(ck)^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}`
=`\frac{a^{3}k^{3}+b^{3}k^{3}+c^{3}k^{3}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}`
=`\frac{k^{3}(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}`
=`k^{3}`
ডানপক্ষঃ `\frac{xyz}{abc}`
=`\frac{(ak)(bk)(ck)}{abc}`
=`\frac{k^3(abc)}{abc}`
=`k^3`
∴বামপক্ষ =ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
2(iii) x:a=y:b=z:c হলে প্রমান করি যে,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2
উত্তর: ধরি , x:a = y:b = z:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x= ak , y=bk, z = ck
বামপক্ষঃ (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)
=`(a^{2}+b^{2}+c^{2}){(ak)^{2}+(bk)^{2}+(ck)^{2}}`
=`(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}k^{2}+b^{2}k^{2}+c^{2}k^{2})`
=`k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})`
=`k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^2`
ডানপক্ষঃ
(ax+by+cz)2
= {a(ak)+b(bk)+c(ck)}2
= (a2k+b2k+c2k)2
= k2(a2+b2+c2)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমানিত ]
3(i) . a:b = c:d = e:f হলে প্রমান করি যে, প্রত্যেকটি অনুপাত = `\frac{(5a-7c-13e)}{(5b-7d-13f)}`
উত্তর:
ধরি , a:b = c:d = e:f = k
∴ a=bk , c=dk, e = fk [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ `\frac{(5a-7c-13e)}{(5b-7d-13f)}`
= `\frac{5(bk)-7(dk)-13(fk)}{(5b-7d-13f)}`
= `\frac{k (5b-7d-13f)}{(5b-7d-13f)}`
= k
∴ প্রত্যেকটি অনুপাত = `\frac{(5a-7c-13e)}{(5b-7d-13f)}` [ প্রমাণিত ]
3(ii) a:b = c:d = e:f হলে প্রমান করি যে, (a2+c2+e2)(b2+d2+f2) = (ab+cd+ef)2
উত্তর:
ধরি , a:b = c:d = e:f = k
∴ a=bk , c=dk, e = fk [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
বামপক্ষঃ
(a2+c2+e2)(b2+d2+f2)
= {(bk)2+(dk)2+(fk)2} (b2+d2+f2)
= (b2k2+d2k2+f2k2)(b2+d2+f2)
= k2(b2+d2+f2)(b2+d2+f2)
= k2 (b2+d2+f2)2
ডানপক্ষঃ
(ab+cd+ef)2
= {(bk)b+(dk)d+(fk)f }2
= (b2k+d2k+f2k)2
= k2 (b2+d2+f 2)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
4(i) যদি a:b = b:c হয় , তবে প্রমান করি যে , `(\frac{a+b}{b+c})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}`
উত্তর:
ধরি a:b = b:c = k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = bk এবং b = ck
আবার , a = (ck).k = ck2 , b = ck
বামপক্ষঃ `(\frac{a+b}{b+c})^{2}`
=`\frac{(a+b)^{2}}{(b+c)^{2}}`
=`\frac{(ck^{2}+ck)^{2}}{(ck+c)^{2}}`
=`\frac{c^{2}k^{2}(k+1)^{2}}{c^{2}(k+1)^{2}}`
=`k^2`
ডানপক্ষঃ `\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}`
=`\frac{(ck^{2})^{2}+(ck)^{2}}{(ck)^{2}+c^{2}}`
=`\frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^{2}+c^2}`
=`\frac{c^2k^2(k^2+1)}{c^2(k^{2}+1)}`
=`k^2`
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
4(ii) যদি a:b = b:c হয় , তবে প্রমান করি যে , `a^2b^2c^2(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})=a^3+b^3+c^3`
উত্তর: ধরি a:b = b:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = bk এবং b = ck
∴ a = (ck).k = ck2 এবং b = ck
বামপক্ষঃ `a^2b^2c^2(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})`
=`(ck^2)^2(ck)^2c^2(\frac{1}{(ck^2)^{3}}+\frac{1}{(ck)^3}+\frac{1}{c^{3}})`
=`c^6k^6(\frac{1}{c^3k^6}+\frac{1}{c^3k^3}+\frac{1}{c^{3}})`
=`\frac{c^6k^6}{c^3k^6}(1+k^3+k^6)`
=`c^3(1+k^3+k^6)`
ডানপক্ষঃ
a3+b3+c3
= (ck2)3+(ck)3+c3
= c3k6+c3k3+c3
= c3(k6+k3+1)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
4(iii) যদি a:b = b:c হয় , তবে প্রমান করি যে , `\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1`
উত্তর: ধরি, a:b = b:c = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = bk এবং b = ck
আবার , a = (ck).k = ck2 , b = ck
বামপক্ষঃ `\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}`
=`\frac{ck^2.ck.c(ck^2+ck+c)^3}{(ck^2.ck+ck.c+c.ck^2)^3}`
=`\frac{c^6k^3(k^2+k+1)^3}{(c^2k^3+c^2k+c^2k^2)^3}`
=`\frac{c^6k^3(k^2+k+1)^3}{c^6k^3(k^2+k+1)^3}`
=1
∴ বামপক্ষ =ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
5(i) a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান করি যে, (a2+b2+c2)(b2+c2+d2) = (ab+bc+cd)2
উত্তর:
a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
`\frac{a}{b} =\frac{b}{c} = \frac{c}{d}`
ধরি ,` \frac{a}{b} =\frac{b}{c} = \frac{c}{d}` = k [k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a= bk , b=ck , c= dk
a = bk =(ck)k=ck2=(dk)k2 =dk3
b=ck=(dk)k =dk2
c =dk
বামপক্ষঃ
= (a2+b2+c2)(b2+c2+d2)
a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই ,
= {(dk3)2+(dk2)2+(dk)2}{(dk2)2+(dk)2+d2}
= (d2k6+d2k4+d2k2)(d2k4+d2k2+d2)
= d2k2(k4+k2+1) d2(k4+k2+1)
= d4k2(k4+k2+1)2
ডানপক্ষঃ
= (ab+bc+cd)2
a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই ,
= {(dk3)(dk2)+(dk2)(dk)+(dk)d}2
= (d2k5+d2k3+d2k)2
= d4k2(k4+k2+1)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
5(ii) a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমান করি যে, (b-c)2+(c-a)2+(b-d)2 = (a-d)2
উত্তর:
a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে,
`\frac{a}{b} =\frac{b}{c} = \frac{c}{d}`
ধরি , `\frac{a}{b} =\frac{b}{c} = \frac{c}{d}`= k [k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a= bk , b=ck , c= dk
a = bk =(ck)k=ck2=(dk)k2 =dk3
b=ck=(dk)k =dk2
c =dk
বামপক্ষঃ
(b-c)2+(c-a)2+(b-d)2
a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই ,
= (dk2-dk)2 + (dk-dk3)2+(dk2-d)2
= d2k2(k-1)2+d2k2(1-k2)2+d2(k2-1)2
= d2{k2(k2-2k+1)+k2(1-2k2+k4)+(k4-2k2+1)}
= d2(k4-2k3+k2+k2-2k4+k6+k4-2k2+1)
= d2 (k6-2k3+1)
= d2{(k3)2-2k3+1}
= d2(k3-1)2
ডানপক্ষঃ
(a-d)2
= {(dk3)-d}2
= d2(k3-1)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
6(i) যদি `\frac{m}{a} = \frac{n}{b}` হয় , তবে দেখাই যে , (m2+n2)(a2+b2)=(am+bn)2
উত্তর:
`\frac{m}{a} = \frac{n}{b}`
ধরি , `\frac{m}{a} = \frac{n}{b}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
বা, m = ak এবং n = bk
বামপক্ষঃ
(m2+n2)(a2+b2)
m ও n এর মান বসিয়ে পাই,
= {(ak)2+(bk)2} (a2+b2)
= (a2k2+b2k2)(a2+b2)
= k2(a2+b2)(a2+b2)
= k2(a2+b2)2
ডানপক্ষঃ
(am+bn)2
m ও n এর মান বসিয়ে পাই,
= {a(ak)+b(bk)}2
= (a2k+b2k)2
= k2(a2+b2)2
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
6(ii) যদি `\frac{a}{b} = \frac{x}{y}` হয় , তবে দেখি যে , (a+b)(a2+b2)x3= (x+y)(x2+y2)a3
উত্তর:
`\frac{a}{b} = \frac{x}{y}`
বা, `\frac{a}{x} = \frac{b}{y}`
ধরি , `\frac{a}{x} = \frac{b}{y}` = k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a= xk , b =y k
বামপক্ষঃ
(a+b)(a2+b2)x3
a ও b এর মান বসিয়ে পাই,
= (xk+yk){(xk)2+(yk)2}x3
= k(x+y) (x2k2+y2k2) x3
= k(x+y) k2(x2+y2)x3
= k3x3(x+y)(x2+y2)
ডানপক্ষঃ
(x+y)(x2+y2)a3
a এর মান বসিয়ে পাই,
= (x+y)(x2+y2) (kx)3
= k3x3(x+y)(x2+y2)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [ প্রমাণিত ]
6(iii) `\frac{x}{(lm-n^2)} = \frac{y}{(mn-l^2)} = \frac{z}{(nl-m^2)}` হয় , তবে দেখাই যে , lx+my+nz = 0
উত্তর:
ধরি ,`\frac{x}{(lm-n2)} = \frac{y}{(mn-l2)} = \frac{z}{(nl-m2)}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x = k(lm-n2), y = k(mn-l2) এবং z= k(nl-m2)
এখন , lx-my+nz
x ,y এবং z এর মান বসিয়ে পাই,
= lk(lm-n2)+mk(mn-l2)+nk(nl-m2)
= kl2m-kln2+km2n-kml2+kn2l-knm2
= 0 [ প্রমানিত ]
6(iv) `\frac{x}{(b+c-a)} = \frac {y}{(c+a-b)} = \frac {z}{(a+b-c)}` হলে , দেখাই যে , (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0
উত্তর:
`\frac{x}{(b+c-a)} = \frac {y}{(c+a-b)} = \frac {z}{(a+b-c)}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x = k(b+c-a)
y = k(c+a-b)
z = k(a+b-c)
∴ (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z
x ,y এবং z এর মান বসিয়ে পাই,
= k(b-c)(b+c-a) + k(c-a)(c+a-b)+k(a-b)(a+b-c)
= k(b2+bc-ba-cb-c2+ca)+k(c2+ca-cb-ac-a2+ab)+k(a2+ab-ac-ba-b2+bc)
= k(b2+bc-ba-cb-c2+ca+ c2+ca-cb-ac-a2+ab+ a2+ab-ac-ba-b2+bc)
= k ✕ (b2-b2+c2-c2+a2-a2+2bc-2bc+2ca-2ca+2ab-2ab)
= 0 [ প্রমাণিত ]
6(v) `\frac{x}{y} = \frac{(a+2)}{(a-2)}` হলে দেখাই যে , `\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}= \frac{4a}{a^2+4}`
উত্তর: `\frac{x}{y} = \frac{(a+2)}{(a-2)}`
বা, `\frac{x^2}{y^2} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}` [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]
বা, `\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{(a+2)^2+(a-2)^2}` [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই ]
বা, `\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{a^2+4a+4+a^2-4a+4}{a^2+4a+4-a^2+4a-4}`
বা, `\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{2a^2+8}{8a}`
বা, `\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}=\frac{a^2+4}{4a}`
বা, `\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}`
∴`\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}` [ প্রমাণিত ]
6(vi) `x =\frac{8ab}{(a+b)}` হলে ,
`\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}` এর মাণ হিসাব করে লিখি ।
উত্তর: `x=\frac{8ab}{a+b}`
বা, `\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}`
বা, `\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}` [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই ]
বা, `\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}`______[i]
`x=\frac{8ab}{a+b}`
বা, `\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}`
বা, `\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}` [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই ]
বা, `\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}`__[ii]
[i]নং ও [ii] নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
`\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}`
=`\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}`
=`\frac{3b+a-3a-b}{b-a}`
=`\frac{2(b-a)}{(b-a)}`
=2
7(i) `\frac{a}{3}=\frac{b}{4} =\frac{c}{7}` হলে দেখাই যে , `\frac{(a+b+c)}{c}` = 2
উত্তর:
ধরি , `\frac{a}{3}=\frac{b}{4} =\frac{c}{7}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = 3k , b = 4k এবং c = 7k
∴`\frac{(a+b+c)}{c}`
a,b এবং c এর মান বসিয়ে পাই,
= `\frac{(3k+4k+7k)}{7k}`
= `\frac{14k}{7k}`
= 2 [ প্রমাণিত ]
7(ii) `\frac{a}{(q-r)} = \frac{b}{(r-p)} = \frac{c}{(p-q)}` হলে, দেখাইযে , a+b+c =0 = pa+qb+rc
উত্তর:
`\frac{a}{(q-r)} = \frac{b}{(r-p)} = \frac{c}{(p-q)}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = k(q-r)
b = k(r-p)
c = k(p-q)
∴ a+b+c
= k(q-r)+k(r-p)+k(p-q)
= k(q-r+r-p+p-q)
= k ✕ 0
= 0
আবার , pa+qb+rc
= pk(q-r)+qk(r-p)+rk(p-q)
= k(pq-pr+qr-pq+rp-pq)
= k ✕ 0
= 0
a+b+c =0 = pa+qb+rc [ প্রমাণিত ]
7(iii) `\frac{(ax+by)}{a} = \frac{(bx-ay)}{b}` হলে, দেখাই যে ,প্রতিটি অনুপাত x এর সমান ।
উত্তর: `\frac{ax+by}{a}=\frac{bx-ay}{b}`
বা, abx +b2y = abx –a2y [ বজ্রগুনন করে পাই ]
বা, b2y+a2y =0
বা, y(b2+a2) = 0
এখন , (b2+a2)≠ 0
∴ y = 0
সুতরাং, `\frac{ax+by}{a}=\frac{ax+b(0)}{a}=\frac{ax}{a}=x`
এবং, `\frac{bx-ay}{b}=\frac{bx-a(0)}{b}=\frac{bx}{a}=x`
সুতরাং প্রতিটি অনুপাতের মাণ x এর সাথে সমান (প্রমাণিত )।
8(i) যদি `\frac{(a+b)}{(b+c)}=\frac{(c+d)}{(d+a)}` হয় , তবে প্রমান করি যে , c = a অথবা a+b+c+d = 0
উত্তর: `\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}`
বা,(a+b)(d+a)=(c+d)(b+c)
বা, `ab+bd+a^2+ba=cb+db+c^2+dc`
বা, `a^2-c^2+ad-dc+bd-bd+ba-cb=0`
বা, (a+c)(a-c)+d(a-c)+b(a-c)=0
বা, (a-c)(a+c+d+b)=0
দুটি রাশির গুনফল শূন্য
∴ হয়, (a-c) =0
বা, a = c
অথবা,
(a+b+c+d) = 0
∴ a=c অথবা (a+b+c+d ) = 0 [ প্রমাণিত ]
8(ii) যদি `\frac{x}{(b+c)}=\frac{y}{(c+a)}=\frac{z}{(a+b)}` হয় ,
তবে দেখাই যে , `\frac{a}{(y+z-x)} = \frac{b}{(z+x-y)} = \frac{c}{(x+y-z)}`
উত্তর:
ধরি , `\frac{x}{(b+c)} = \frac{y}{(c+a)} = \frac{z}{(a+b)}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x = k(b+c) , y = k(c+a) এবং z = k (a+b)
প্রথমপক্ষঃ `\frac{a}{(y+z-x)}`
=`\frac{a}{k(c+a)+k(a+b)-k(b+c)}`
=`\frac{a}{k(c+a+a+b-b-c)}`
=`\frac{a}{2ka}`
=`\frac{1}{2k}`
দ্বিতীয়পক্ষঃ `\frac{b}{z+x-y}`
=`\frac{b}{k(a+b)k(b+c)-k(c+a)}`
=`\frac{b}{k(a+b+b+c-c-)}`
=`\frac{b}{2kb}`
=`\frac{1}{2k}`
তৃতীয়পক্ষঃ `\frac{c}{x+y-z}`
=`\frac{c}{k(b+c)+k(c+a)-k(a+b)}`
=`\frac{c}{k(b+c+c+a-a-b)}`
=`\frac{c}{2kc}`
=`\frac{1}{2k}`
∴ `\frac{a}{(y+z-x)} = \frac{b}{(z+x-y)} = \frac{c}{(x+y-z)}` [Proved]
8(iii) `\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}`
হলে দেখাই যে, `\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}`
উত্তর: `\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}` =k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x+y = k(3a-b)—(i)
(y+z) = k(3b-c)—(ii)
(z+x) = k(3c-a)—(iii)
(i),(ii) ও(iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
∴ x+y+y+z+z+x = k(3a-b)+k(3b-c)+k(3c-a)
বা, 2(x+y+z)= k(3a-b+3b-c+3c-a)
বা, 2(x+y+z)= k(2a+2b+2c)
বা, 2(x+y+z)= 2k(a+b+c)
বা, (x+y+z) = k(a+b+c)
বা, `\frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=k`
এখন , x = (x+y+z)-(y+z)
(x+y+z) এবং (y+z) -এর মান বসিয়ে পাই,
=k(a+b+c)-k(3b-c)
= k(a+b+c-3b+c)
= k(a-2b+2c)
y = (x+y+z)-(x+z)
(x+y+z)এবং (x+z)-এর মান বসিয়ে পাই,
= k(a+b+c)-k(3c-a)
= k(a+b+c-3c+a)
= k(b-2c+2a)
z = (x+y+z)-(x+y)
(x+y+z) এবং (x+y)-এর মান বসিয়ে পাই,
= k(a+b+c)-k(3a-b)
= k(a+b+c-3a+b)
= k(c-2a+2b)
∴ `\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}`
=`\frac{{ak(a-2b+2c)+bk(b-2c+2a)+ck(c-2a+2b)}}{(a^2+b^2+c^2)}`
=`\frac{k(a^2-2ab+2ac+b^2-2ac+2ab+c^2-2ac+2bc)}{(a^2+b^2+c^2)}`
=`\frac{k(a^2+b^2+c^2)}{(a^2+b^2+c^2)}`
=k
∴ `\frac{(x+y+z)}{(a+b+c)}=\frac{(ax+by+cz)}{(a^2+b^2+c^2)}` [Proved]
8(iv) `\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{y}{c}` হলে দেখাই যে, `\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}`
উত্তর : `\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{y}{c}` =k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x=ak, y=bk এবং z=ck
প্রথমপক্ষ : `\frac{x^2-yz}{a^2-bc}`
=`\frac{(ak)^2-(bk)(ck)}{a^2-bc}`
=`\frac{a^2k^2-bck^2}{a^2-bc}`
=`\frac{k^2(a^2-bc)}{(a^2-bc)}`
=`k^2`
দ্বিতীয়পক্ষ : `\frac{y^2-zx}{b^2-ca}`
=`\frac{(bk)^2-(ck)(ak)}{b^2-ca}`
=`\frac{b^2k^2-ack^2}{b^2-ca}`
=`\frac{k^2(b^2-ac)}{(b^2-ac)}`
=`k^2`
তৃতীয়পক্ষ : `\frac{z^2-xy}{c^2-ab}`
= `\frac{(ck)^2-(ak)(bk)}{c^2-ab}`
= `\frac{c^2k^2-abk^2}{c^2-ab}`
= `\frac{k^2(c^2-ab)}{(c^2-ab)}`
= `k^2`
∴ `\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ab}` [Proved]
9(i) যদি , `\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}` হয় ,
তবে দেখাই যে ,
`\frac{x}{y}=\frac{u}{v}`
উত্তর : `\frac{3x+4y}{3u+4v}=\frac{3x-4y}{3u-4v}`
`\Rightarrow \frac{3x+4y}{3x-4y}=\frac{3u+4v}{3u-4v}`
`\Rightarrow \frac{(3x+4y)+(3x-4y)}{(3x+4y)-(3x-4y)}=\frac{(3u+4v)+(3u-4v)}{(3u+4v)-(3u-4v)}` [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই ]
`\Rightarrow \frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y}=\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}`
`\Rightarrow \frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}`
`\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{u}{v}` [Proved].
9(ii) (a+b+c+d) : (a+b-c-d) = (a-b+c-d) : (a-b-c+d) হলে , প্রমান করি যে , a:b = c:d
উত্তর : `(a+b+c+d) : (a+b-c-d) = (a-b+c-d) : (a-b-c+d)`
বা,`\frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}`
বা, `\frac{(a+b+c+d)+(a+b-c-d)}{(a+b+c+d)-(a+b-c-d)}=\frac{(a-b+c-d)+(a-b-c+d)}{(a-b+c-d)-(a-b-c+d)}` [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই ]
বা, `\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}`
বা, `\frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}`
বা, `\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}`
বা, `\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}`
বা, `\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}=\frac{(c+d)+(c-d)}{(c+d)-(c-d)}` [ যোগ ভাগ প্রক্রিয়ায় পাই ]
বা, `\frac{a+b+a-b}{a+b-a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}`
বা, `\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}`
বা, `\frac{a}{b}=\frac{c}{d}`
বা, a:b = c:d [Proved].
10 (i) `\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1` হলে ,
দেখাই যে , `\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1`
উত্তর: `\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{c+a}=\frac{c^2}{a+b}=1`
∴ a^2=b+c
বা, `a+a^2=a+b+c`
বা, a(1+a)=a+b+c ——(i)
আবার, b2=c+a
বা, `b+b^2=b+c+a`
বা,b(1+c)=c+a+b—-(ii)
এবং, `c^2=a+b`
বা, `c+c^2=c+a+b`
বা, c(1+c)=c+a+b —–(iii)
∴ `\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}`
=`\frac{a}{a(1+a)}+\frac{b}{b(1+b)}+\frac{c}{c(1+c)}`
= `\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}` [ (i) , (ii) ও (iii) থেকে পাই ]
=`\frac{a+b+c}{a+b+c}`
=1
= `\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1` [ Proved ].
10(ii) x2 : (by+cz) = y2 : (cz+ax) : z2 : (ax+by) =1 হলে ,
দেখাই যে , `\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1`
উত্তর:
x2 : (by+cz)=y2 : (cz+ax) = z2 : (ax+by) = 1
বা, `\frac{x^2}{(by+cz)}=\frac{y^2}{(cz+ax)}=\frac{z^2}{(ax+by)}=1`
∴ x2 = (by+cz)
বা, x2+ax=by+cz+ax [উভয়পক্ষে ax যোগ করে পাই] ——(i)
আবার, y2+by=cz+ax+by [উভয়পক্ষে by যোগ করে পাই] ——(ii)
এবং z2 = ax+by
বা, z2+cz=ax+by+cz [উভয়পক্ষে cz যোগ করে পাই] ——(iii)
∴ `\frac{a}{a+x}=\frac{b}{b+y}=\frac{c}{c+z}`
প্রথম রাশির লব ও হরকে x দ্বারা, দ্বিতীয় রাশির লব ও হরকে y দ্বারা এবং তৃতীয় রাশির লব ও হরকে z দ্বারা গুণ করে পাই,
= `\frac{ax}{ax+x^2}=\frac{by}{by+y^2}=\frac{cz}{cz+z^2}`
= `\frac{ax}{by+cz+ax}=\frac{by}{cz+ax+by}=\frac{cz}{ax+by+cz}` [ (i) , (ii) ও (iii) থেকে পাই ]
= `\frac{ax}{ax+by+cz}=\frac{by}{ax+by+cz}=\frac{cz}{ax+by+cz}`
= `\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}`
=1
∴ `\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}=1` [ Proved ].
11(i) `\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}`
হলে , দেখাই যে , প্রতিটি অনুপাত `\frac{1}{(a+b+c)}` এর সাথে সমান ।
উত্তর: `\frac{x}{xa+yb+zc}=\frac{y}{ya+zb+xc}=\frac{z}{za+xb+yc}=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}` [সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
= `\frac{x+y+z}{xa+ya+za+xb+yb+zb+xc+yc+zc}`
=`\frac{x+y+z}{a(x+y+z)+b(x+y+z)+c(x+y+z)}`
=`\frac{x+y+z}{(x+y+z)(a+b+c)}`
=`\frac{1}{(a+b+c)}`
∴ প্রতিটি অনুপাতের মান `\frac{1}{(a+b+c)}` এর সাথে সমান ।
11(ii) `\frac{(x^2-xy)}{a}=\frac{(y^2-zx)}{b}=\frac{(z^2-xy)}{c}` হলে , প্রমান করো যে ,
(a+b+c)(x+y+z) = (ax+by+cz)
উত্তর:
ধরি, `\frac{(x^2-xy)}{a}=\frac{(y^2-zx)}{b}=\frac{(z^2-xy)}{c}`=k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ x2-xy=ak —(i)
বা, x3-xyz=akx —-(ii) [উভয়কে x দ্বারা গুণ করে পাই]
y2-zx=bk —-(iii)
বা, y3-xyz=bky — (iv) [উভয়কে y দ্বারা গুণ করে পাই]
z2-xy=ck —-(v)
বা, z3-xyz=ckz — (vi) [উভয়কে z দ্বারা গুণ করে পাই]
(i) ,(iii) ও (v) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,
x2 –xy +y2-zx+z2-xy= ak+bk+ck
বা, x2+y2+z2 –xy-yz-zx = k(a+b+c) —-(vii)
(ii),(iv)এবং (vi) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x3+y3+z3-3xyz= k(ax-by-cz)
বা, (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=k(ax+by+cz)
বা, (x+y+z)k(a+b+c)=k(ax+by+cz) [∵ x2+y2+z2 –xy-yz-zx = k(a+b+c) ]
বা, (x+y+z)(a+b+c)=(ax+by+cz)[যেহেতু k≠0 ,উভয়পক্ষে k দ্বারা ভাগ করে পাই ]
∴ (x+y+z)(a+b+c)=(ax+by+cz) [প্রমাণিত]
11(iii) `\frac{a}{(y+z)}=\frac{b}{(z+x)}=\frac{c}{(x+y)}` হলে , প্রমান করি যে,
`\frac{a(b-c)}{(y^2-z^2)}=\frac{b(c-a)}{(z^2-x^2)}=\frac{c(a-b)}{(x^2 –y^2)}`
উত্তর : `\frac{a}{(y+z)}=\frac{b}{(z+x)}=\frac{c}{(x+y)}` = k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = k(y+z) এবং b = k(z+x) এবং c = k(x+y)
প্রথমপক্ষ : `\frac{a(b-c)}{y^2-z^2}`
= `\frac{k(y+z){k(z+x)-k(x+y)}}{y^2-z^2}`
= `\frac{k(y+z){k(z+x-x-y)}}{y^2-z^2}`
= `\frac{k^2(z+y)(z-y)}{y^2-z^2}`
= `\frac{k^2(z^2-y^2)}{y^2-z^2}`
= `\frac{-k^2(y^2-z^2)}{y^2-z^2}`
= `-k^2`
দ্বিতীয় পক্ষ : `\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}`
= `\frac{k(z+x){k(x+y)-k(y+z)}}{z^2-x^2}`
= `\frac{k(z+x){k(x+y-y-z)}}{z^2-x^2}`
= `\frac{k^2(x+z)(x-y)}{(z^2-x^2)}`
= `\frac{k^2(x^2-z^2)}{(z^2-x^2)}`
= `\frac{-k^2(z^2-x^2)}{(z^2-x^2)}`
= `-k^2`
তৃতীয় পক্ষ : `\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}`
= `\frac{k(x+y){k(y+z)-k(z+x)}}{x^2-y^2}`
= `\frac{k(x+y){k(y+z-z-x)}}{x^2-y^2}`
= `\frac{k^2(y+x)(y-x)}{(x^2-y^2)}`
= `\frac{k^2(y^2-x^2)}{(x^2-y^2)}`
= `\frac{-k^2(x^2-y^2)}{(x^2-y^2)}`
= `-k^2`
∴ `\frac{a(b-c)}{(y^2-z^2)}=\frac{b(c-a)}{(z^2-x^2)}=\frac{c(a-b)}{(x^2 –y^2)}` [ Proved ].
12. অতি সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন (V.S.A)
A. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) 3 , 4 এবং 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী
(a) 8
(b) 10
(c ) 12
(d) 24
উত্তর : (a) 8
সমাধানঃ ধরি 3,4 এবং 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী হল x
সুতরাং, `\frac{3}{4}=frac{6}{x}`
বা, 3x = 24
বা, x = `\frac{24}{3}`
বা, x = 8
নির্ণেয় চতুর্থ সমানুপাতী হল 8 ।
(ii) 8 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী
(a) 12
(b) 16
(c ) 18
(d) 20
উত্তর : (c ) 18
সমাধানঃ ধরি, 8 এবং 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী হল x
সুতরাং, `\frac{8}{12}=\frac{12}{x}`
বা, 8x = 12✕12
বা, x = `\frac{144}{8}`
বা, x = 18
∴ নির্ণেয় তৃতীয় সমানুপাতী হল 18
(iii) 16 এবং 25 এর মধ্যসমানুপাতী
(a) 400
(b) 100
(c ) 20
(d) 40
উত্তর : 20
সমাধানঃ ধরি , 16 এবং 25 এর মধ্যসমানুপাতী x
সুতরাং, `\frac{16}{x}=\frac{x}{25}`
বা, x2 = 16✕25
বা , x = `\sqrt{16✕25}`
বা, x = 4✕5
বা , x = 20
∴ নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী হল 20
(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং `\frac{a : 27}{64} =\frac{3}{4} : a` হলে, a এর মাণ কত ?
(a) `\frac{81}{256}`
(b) 9
(c ) `\frac{9}{16}`
(d) `\frac{16}{9}`
উত্তর : (c ) `\frac{9}{16}`
সমাধান : `a : \frac{27}{64}=\frac{3}{4} : a`
বা, `\frac{a}{\frac{27}{64}}=\frac{\frac{3}{4}}{a}`
বা, `a×\frac{64}{27}=\frac{3}{4}×\frac{1}{a}`
বা, `\frac{64a}{27}=\frac{3}{4a}`
বা, `a^2=\frac{81}{256}`
বা, `a=\sqrt{\frac{81}{256}}`
বা, `a=\frac{9}{16}`
∴ `a=\frac{9}{16}`
(v) 2a=3b=4c হলে, a:b:c হবে ,
(a) 3:4:6
(b) 4:3:6
(c) 3:6:4
(d) 6:4:3
উত্তর : (d) 6:4:3
সমাধানঃ ধরি , 2a=3b=4c=k [ k (≠ 0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a = `\frac{k}{2}`
b = `\frac{k}{3}`
c = `\frac{k}{4}`
∴ a:b:c
= `\frac{k}{2}:\frac{k}{3}:\frac{k}{4}`
= `\frac{k}{2}×12:\frac{k}{3}×12:\frac{k}{4}×12`
=6k : 4k : 3k
= 6 : 4 : 3
B. নীচের বিবৃতি গুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) ab:c2 , bc:a2 এবং ca:b2 এর যৌগিক অনুপাত 1:1
উত্তর : সত্য
সমাধানঃ ab:c2 , bc:a2 এবং ca:b2 এর যৌগিক অনুপাত
= (ab)(bc)(ca) : a2b2c2
= a2b2c2 : a2b2c2
= 1 : 1
(ii) x3y , x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী
উত্তর : সত্য
সমাধান : `\frac{x^3y}{x^2y^2}=\frac{x}{y}`
আবার, `+\frac{x^2y^2}{xy^3}=\frac{x}{y}`
∴ `\frac{x^3y}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2}{xy^3}`
বা , x3y: x2y2 :: x2y2 : xy3
∴ x3y , x2y2 এবং xy3 ক্রমিক সমানুপাতী
(C ) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুনফল 64 হলে , তাদের মধ্যসমানুপাতী ____________ ।
উত্তর : 4
সমাধানঃ ধরি , a ,b,c তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যা ।
∴ `\frac{a}{b}=\frac{b}{c}`
বা, b2 = ac
বা, b3 = abc
বা, b3 = 64 [ যেহেতু তিনটি সংখ্যার গুনফল 64]
বা, b3 = 43
বা, b = 4
সুতরাং মধ্য সমানুপাতী হল 4 ।
(ii) a:2 = b:5 = c:8 হলে a এর 50% = b এর 20% = c এর ___________ ।
উত্তর : 12.5%
সমাধানঃ a:2=b:5=c:8
∴ `\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{8}`
বা, `\frac{a}{2}×100=\frac{b}{5}×100=\frac{c}{8}×100`
বা, a এর 50%=b এর 20%=c এর 12.5%
(iii) (x+2) এবং (x-3 ) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে , x এর মাণ ___________ ।
উত্তর : -6
সমাধানঃ (x+2) এবং (x-3 ) এর মধ্য সমানুপাতী x
∴ (x+2):x :: x : (x-3)
বা, `\frac{(x+2)}{x} = \frac{x}{(x-3)}`
বা, x2 = (x+2)(x-3)
বা, x2 = x2+2x-3x-6
বা, x= -6
13. সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন উত্তর (S.A):
(i) `\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{(2a-3b+4c)}{p}` হলে , p এর মাণ নির্ণয় করো ।
উত্তর : ধরি , `\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}` = k [ k(≠ 0)একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a =2k , b = 3k এবং c = 4k
`\frac{2a-3b+4c}{p}=k`
বা, `\frac{2(2k)-3(3k)+4(4k)}{p}=k`
বা, `\frac{4k-9k+16k}{p}=k`
বা, `\frac{11k}{p}=k`
∴ p = 11
(ii) (3x-5y) : (3x+5y)=`\frac{1}{2}` হলে , `\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}` এর মাণ কত ?
উত্তর : `\frac{(3x-5y)}{(3x+5y)}=\frac{1}{2}`
বা, `\frac{3x-5y+3x+5y}{3x-5y-3x-5y}=\frac{1+2}{1-2}` [যোগ ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
বা, `\frac{6x}{-10y}=\frac{3}{-1}`
বা, `\frac{3x}{5y}=\frac{3}{1}`
বা, `\frac{x}{y}=\frac{5}{1}`
ধরি, `\frac{x}{y}=\frac{5}{1}`=k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
বা, x=5k এবং y=k
∴ `\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}`
=`\frac{3(5k)^2-5(k)^2}{3(5k)^2+5(k)^2}` [x এবং y এর মান বসিয়ে পাই ]
=`\frac{3(25k^2)-5k^2}{3(25k^2)+5k^2}`
=`\frac{75k^2-5k^2}{75k^2+5k^2}`
=`\frac{70k^2}{80k^2}`
=`\frac{7}{8}`
∴ `\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2} = \frac{7}{8}`
(iii) a:b = 3:4 এবং x:y = 5:7 হলে, (3ax-by) : (4by -7ax ) কত নির্ণয় করি ।
উত্তর : a:b = 3:4
ধরি , a = 3k , b= 4k [ k(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
আবার , x:y = 5:7
ধরি , x = 5m , y = 7m [m(≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক]
এখন , (3ax-by) : (4by -7ax )
= {3(3k)(5m)–(4k)(7m)} : {4(4k)(7m)-7(3k)(5m)} [∵ x = 5m , y = 7m]
= (45km-28km) : (112km : 105km)
= 17km : 7km
= 17:7
∴(3ax-by) : (4by -7ax ) = 17:7
(iv) x ,12 , y ,27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে , x ও y এর ধনাত্মক মাণ নির্ণয় করি ।
উত্তর : x ,12 , y ,27 ক্রমিক সমানুপাতী
∴ `\frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}`
∴ `\frac{12}{y}=\frac{y}{27}`
বা, y2 = 12✕27
বা, y2 = `\sqrt{324}`
বা, y = 18
আবার, `\frac{x}{12}=\frac{12}{y}`
বা, `\frac{x}{12}=\frac{12}{18}`
বা, `\frac{x}{12}=\frac{2}{3}`
বা, `x=\frac{24}{3}`
বা, x=8
∴ x= 8 এবং y =18
(v) a:b = 3:2 এবং b:c = 3:2 হলে , (a+b) : (b+c) কত নির্ণয় করি ।
উত্তর : a:b = 3:2 =9:6
b:c = 3:2=6:4
∴ a:b:c = 9:6:4
ধরি , a = 9k , b=6k এবং c = 4k [ k (≠0) একটি আনুপাতিক ধ্রুবক ]
∴ a+b : b+c
= (9k+6k) : (6k+4k)
= 15k : 10k
= 3 : 2
∴ a+b : b+c =3:2
Note: এই আর্টিকেলের ব্যাপারে তোমার মতামত জানাতে নীচে দেওয়া কমেন্ট বক্সে গিয়ে কমেন্ট করতে পারো। ধন্যবাদ।