এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 নিয়ে এসেছি। Class 10 Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 Answer solve | Class X Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 | মাধ্যমিক গণিতের নবম অধ্যায় দ্বিঘাত করণী কষে দেখি ৯.২ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো।
দ্বিঘাত করণী (Dighat Koroni)
কষে দেখি ৯.৩
Class 10 Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 Solution
1(a) `m+\frac{1}{m}=\sqrt{3}`
(i) `m^2+\frac{1}{m^2}`
(ii) `m^3+\frac{1}{m^3}`
-এদের মান নির্ণয় করি
উত্তর : (i) `m^2+\frac{1}{m^2}`
= `(m+\frac{1}{m})^2-2.m.\frac{1}{m}`
= `(\sqrt{3})^2-2` [যেহেতু , `(m+\frac{1}{m})=\sqrt{3}`]
= 3-2
= 1 [Ans.]
(ii) `m^3+\frac{1}{m^3}`
= `(m+\frac{1}{m})^3-3.m.\frac{1}{m}(m+\frac{1}{m})`
= `(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}` [যেহেতু , `(m+\frac{1}{m})=\sqrt{3}`]
=`3\sqrt{3}-3\sqrt{3}`
= 0 [Ans.]
1(b) দেখাই যে,
`\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}`
উত্তর : `\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}`
= `\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}`
= `\frac{4.\sqrt{5}.\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} [∵ (a+b)^2 – (a-b)^2 =4ab]`
= `\frac{4.\sqrt{5}.\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}`
= `\frac{4\sqrt{15}}{5-3}`
= `\frac{4\sqrt{15}}{2}`
= `2\sqrt{15}`
∴ `\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}` [Proved].
2. সরল করি :
(a) `\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}-\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}`
উত্তর : `\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}-\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}`
= `\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)-\sqrt{2}(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}`
= `\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{3}+3-2-\sqrt{3})-\sqrt{2}(2\sqrt{3}-3+2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}}`
= `\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}(3-1)}`
= `\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}`
= `\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}`
= `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`
= `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= `\frac{\sqrt{6}}{3}` [Ans.]
2.(b) `\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}`
উত্তর : `\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}`
= `\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}`
= `\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}}-\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{35})}{{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}}` [যেহেতু, `a^2-b^2=(a+b)(a-b)`]
= `\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{5-2}-\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{35})}{2-7}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{7-5}`
= `\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{3}-\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{35})}{-5}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{2}`
= `(\sqrt{35}-\sqrt{14})+(\sqrt{10}-\sqrt{35})+(\sqrt{14}-\sqrt{10})`
= `\sqrt{35}-\sqrt{14}+\sqrt{10}-\sqrt{35}+\sqrt{14}-\sqrt{10}`
= 0 [Ans.]
2.(c) `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}`
উত্তর : `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}`
= `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{3×3×2}}-\frac{\sqrt{3×3×2}}{3-\sqrt{2×2×3}}`
= `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{3-2\sqrt{3}}`
= `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}×\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}×\frac{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{3-2\sqrt{3}}×\frac{3+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= `\frac{4(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{(2)^2-(\sqrt{2})^2}-\frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(4\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{(3)^2-(2\sqrt{3})^2}`
= `\frac{4(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{4-2}-\frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{48-18}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{9-12}`
= `\frac{4(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{2}-\frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{30}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{-3}`
=`2(2\sqrt{3}+\sqrt{6})-(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})+(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})`
= `4\sqrt{3}+2\sqrt{6}-4\sqrt{3}-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{6}`
= `4\sqrt{6}` [Ans.]
2.(d) `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}`
উত্তর : `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}`
= `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6}×\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}}`
= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{3-6}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6-2}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{2-3}`
= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{-3}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{4}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{-1}`
= `-(\sqrt{6}-\sqrt{12})-(\sqrt{18}-\sqrt{6})-(\sqrt{12}-\sqrt{18})`
=` -\sqrt{6}+\sqrt{12}-\sqrt{18}+\sqrt{6}-\sqrt{12}+\sqrt{18}`
= 0 [Ans.]
3. যদি x=2, y=3 এবং z=6 হয়, তবে, `\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}` – এর মান হিসেব করে লিখি
= `\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}`
= x ,yএবং z এর মান বসিয়ে পাই
= `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}`
= `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2}}`
= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{3-6}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6-2}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{2-3}`
= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{-3}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{4}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{-1}`
= `-(\sqrt{6}-\sqrt{12})-(\sqrt{18}-\sqrt{6})-(\sqrt{12}-\sqrt{18})`
= `-\sqrt{6}+\sqrt{12}-\sqrt{18}+\sqrt{6}-\sqrt{12}+\sqrt{18}`
= 0 [Ans.]
4. `x=\sqrt{7}+\sqrt{6}` হলে,
(i) `x-\frac{1}{x}`
(ii) `x+\frac{1}{x}`
(iii) `x^2+\frac{1}{x^2}`
(iv) `x^3+\frac{1}{x^3}`
এর সরল তম মান নির্ণয় কর
(i) `x-\frac{1}{x}`
উত্তর : `x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`
= `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`
= `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
= `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`
= `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`
= `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
= ∴ `(x-\frac{1}{x})`
= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})-(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
= `\sqrt{7}+\sqrt{6}-\sqrt{7}+\sqrt{6}\sqrt{7}+\sqrt{6}-\sqrt{7}+\sqrt{6}`
= `2\sqrt{6}` [Ans.]
(ii) `x+\frac{1}{x}`
উত্তর :
`x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`
বা, `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
∴ `x+\frac[1}{x}`
= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
= `\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6}`
= `2\sqrt{7}` [Ans.]
(iii) `x^2+\frac{1}{x^2}`
`x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`
বা, `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
এবং `x+\frac{1}{x}`
= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
= `\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6}`
= `2\sqrt{7}`
∴ `(x^2+\frac{1}{x^2})`
= `(x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}`
= `(2\sqrt{7})^2-2`
= 28-2
= 26 [Ans.]
(iv) `x^3+\frac{1}{x^3}`
উত্তর : `x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]
বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`
বা, `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
এবং, `x+\frac[1}{x}`
= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})`
= `\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6}`
= `2\sqrt{7}`
∴ `x^3+\frac{1}{x^3}`
= `(x+\frac{1}{x})^3-3.x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})`
= `(2\sqrt{7})^3-3(2\sqrt{7})`
= `56\sqrt{7}-6\sqrt{7}`
= `50\sqrt{7}` [Ans.]
5. সরল করি : `\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}`
সরলফল 14 হলে x এর মান কি কি হিসেব করে লিখি।
সমাধান : `\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}`
= `\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x-\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}`
= `\frac{2{x^2+(\sqrt{x^2-1})^2}}{x^2-(\sqrt{x^2-1})^2}`
= `\frac{2(x^2+x^2-1)}{x^2-(x^2-1)}`
= `\frac{2(2x^2-1)}{x^2-x^2+1}`
= `4x^2-2`
যেহেতু প্রদত্ত রাশিটির সরলতম মান 14
∴ `4x^2-2=14`
বা, `4x^2=14+2`
বা, `4x^2=16`
বা, `x^2=\frac{16}{4}`
বা, `x^2=4`
বা, x = ± √4
বা, x = ±2
∴ x এর মান ± 2
6. যদি `a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}`ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`হয় তবে নীচের মান গুলি নির্ণয় করো।
(i) `\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}`
(ii) `\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}`
(iii) `\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}`
(iv) `\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}`
সমাধান : `a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}` ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`
∴ `a+b = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`
= `\frac{(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2}{{(\sqrt{5})^2-1^2}}`
= `\frac{2{(\sqrt{5})^2+1^2}}{5-1}`
= `\frac{2(5+1)}{4}`
= `\frac{12}{4}`
= 3
`a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}` ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`
`∴ (a-b) = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`
= `\frac{(\sqrt{5}+1)^2-(\sqrt{5}-1)^2}{{(\sqrt{5})^2-1^2}}`
= `\frac{4.\sqrt{5}.1}{(5-1)}`
= `\frac{4.\sqrt{5}.1}{4}`
= `\sqrt{5}`
`a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}` ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`
`∴ ab = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}×\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`
বা, ab=1
(i) `\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}`
সমাধান : `\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}`
= `\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a^2-2ab+b^2+ab}`
= `\frac{(a+b)^2-ab}{(a-b)^2+ab}`
= `\frac{(3)^2-1}{(\sqrt{5})^2+1}` [ মান বসিয়ে পাই ]
= `\frac{9-1}{5+1}`
= `\frac{8}{6}`
= `\frac{4}{3}` [Ans.]
= (1 পূর্ণ `\frac{1}{3}`)উত্তর
(ii) `\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}`
সমাধান : `\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}`
= `\frac{(\sqrt{5})^3}{(3)^3}` [ মান বসিয়ে পাই ]
= `\frac{5\sqrt{5}}{27}` [Ans.]
(iii) `\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}`
সমাধান : `\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}`
= `\frac{3a^2+6ab+3b^2-ab}{3a^2-6ab+3b^2+ab}`
= `\frac{3(a^2+2ab+b^2)-ab}{3(a^2-2ab+b^2)+ab}`
= `\frac{3(a+b)^2-ab}{3(a-b)^2+ab}`
= `\frac{3(3)^2-1}{3(\sqrt{5})^2+1}`
= `\frac{27-1}{15+1}`
= `\frac{26}{16}`
= `\frac{13}{8}`
= `1\frac{5}{8}` [Ans.]
(iv) `\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}`
সমাধান : `\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}`
= `\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{(a-b)^3+3ab(a+b)}`
= `\frac{(3)^3-3(1)(3)}{(\sqrt{5})^3+3(1)(\sqrt{5})}`
= `\frac{27-9}{5\sqrt{5}+3\sqrt{5}}`
= `\frac{18}{18\sqrt{5}}`
= `\frac{9}{4\sqrt{5}}`
= `\frac{9×\sqrt{5}}{4\sqrt{5}×\sqrt{5}}` [ হরের করণী নিরসন করে পাই ]
= `\frac{9\sqrt{5}}{20}` [Ans.]
7. যদি `x=2+\sqrt{3}` এবং `y=2-\sqrt{3}` হয় তবে নিম্নলিখিত গুলির সরলতম মান নির্ণয় কর।
(a)(i) `x-\frac{1}{x}`
(ii) `y^2+\frac{1}{y^2}`
(iii) `x^3-\frac{1}{x^3}`
(iv) `xy+\frac{1}{xy}`
(v) `3x^2-5xy+3y^2`
সমাধান : `x=2+\sqrt{3}`
∴ `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}× \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}`
বা, `\frac{1}{x}= \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}`
বা, `\frac{1}{x}= \frac{2-\sqrt{3}}{4-3}`
বা, `\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}`
আবার, `y=2-\sqrt{3}`
∴ `\frac{1}{y}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}`
বা, `\frac{1}{y}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}× \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}`
বা, `\frac{1}{y}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}`
বা, `\frac{1}{y}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}`
বা, `\frac{1}{y}=2+\sqrt{3}`
(a)(i) `x-\frac{1}{x}`
`x-\frac{1}{x}`
= `(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})` [মান বসিয়ে পাই ]
= `2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}`
= `2\sqrt{3}` [Ans.]
(ii) `y^2+\frac{1}{y^2}`
`y^2+\frac{1}{y^2}`
= `(y+\frac{1}{y})^2-2.y.\frac{1}{y}`
= `(y+\frac{1}{y})^2-2`
= `(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3})^2-2` [মান বসিয়ে পাই ]
= `(4)^2-2`
= 16-2
= 14 [Ans.]
(iii) `x^3-\frac{1}{x^3}`
`x-\frac{1}{x}`
= `(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})` [মান বসিয়ে পাই ]
= `2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}`
= `2\sqrt{3}`
∴ `x^3-\frac{1}{x^3}`
= `(x-\frac{1}{x})^3+3.x.\frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})`
= `(2\sqrt{3})^3+3(2\sqrt{3})`
= `24\sqrt{3}+6\sqrt{3}`
= `30\sqrt{3}` [Ans.]
(iv) `xy+\frac{1}{xy}`
`x=2+\sqrt{3}` এবং `y=2-\sqrt{3}`
∴ `xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})`
= `(2)^2-(\sqrt{3})^2`
= 4-3 =1
∴ `xy+\frac{1}{xy}`
= 1+1
= 2 [Ans.]
(v) `3x^2-5xy+3y^2`
`x=2+\sqrt{3}` এবং `y=2-\sqrt{3}`
∴ `xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})`
= `(2)^2-(\sqrt{3})^2`
= 4-3 = 1
এবং `xy={(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})}`
= `xy={(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3})}=2\sqrt{3}`
∴ `3x^2-5xy+3y^2`
= `3x^2-6xy+3y^2+xy`
= `3(x^2-2xy+y^2)+xy`
= `3(x-y)^2+xy`
= 3(2\sqrt{3})^2+1 [মান বসিয়ে পাই ]
= 36+1
= 37 [Ans.]
(8). `x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}` এবং xy=1 হলে দেখাই যে `\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{12}{11}`
সমাধান : `x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}`
এবং xy=1
∴ `y=\frac{1}{x}`
বা, `y= \frac{1}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}`
বা, `y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}`
∴ `(x+y)=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}`
= `\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}`
= `\frac{2{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{3})^2}}{(7-3)}` [যেহেতু `(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)`]
= `\frac{2(7+3)}{4}`
= `\frac{20}{4}`
= 5
আবার, `xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}`
∴ `xy=1`
∴ `\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}`
= `\frac{x^2+2xy+y^2-xy}{x^2-xy+y^2-3xy}`
= `\frac{(x+y)^2-xy}{(x+y)^2-3(xy)}`
=`\frac{(5)^2-1}{(5)^2-3(1)}`
= `\frac{25-1}{25-3}`
= `\frac{24}{22}`
= `\frac{12}{11}` [Proved]
9. (√7 +1) এবং (√5+√3) এর মধ্যে কোনটি বড় লিখি ।
সমাধান : (√7 +1)2
= (√7)2 +2.√7 .1 +(1)2
= 7 +2√7 + 1
= 8 + 2√7
আবার ,
(√5+√3)2
= (√5 )2 + 2. √5 . √3 +(√3)2
= 5 +2√15 + 3
= 8 +2√15
এখন , 8 +2√15 > 8 + 2√7 [∵√15 >√7 ⇒2√15 >2√7 ]
∴ (√5+√3)2 > (√7 +1)2
∴ (√5+√3) > (√7 +1)
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) x = 2+√3 হলে, (`\frac{x+1}{x}`) এর মান
(a) 2
(b) 2√3
(c) 4
(d) 2-√3
Ans: (c) 4
সমাধান : `x=2+\sqrt{3}`
∴ `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}×\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}`
বা, `\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}`
∴ `x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}`
= 4
∴ `(x+\frac{1}{x})=4`
(ii) p+q = √13 এবং p-q = √5 হয়, তাহলে pq এর মান
(a) 2
(b) 18
(c) 9
(d) 8
Ans: (a) 2
সমাধান : `pq=(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2`
= `(\frac{\sqrt{13}}{2})^2-(\frac{\sqrt{5}}{2})^2`
= `\frac{13}{2}-\frac{5}{2}`
= `\frac{8}{4}`
= 2
(iii) যদি a+b = √5 এবং a-b = √3 হয় , তাহলে (a2+b2) এর মান
(a) 8
(b) 4
(c) 2
(d) 1
Ans:(b) 4
সমাধান : `ab=(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2`
=`(\frac{\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2`
= `\frac{5}{4}-\frac{3}{4}`
= `\frac{2}{4}`
= `\frac{1}{2}`
∴ `(a^2+b^2)`
=`(a+b)^2-2ab`
= `(\sqrt{5})^2-2.\frac{1}{2}`
= 5-1
=4
(iv) √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে
(a) √80
(b) √120
(c) √100
(d) কোনোটিই নয়
Ans:(a) √80
সমাধান : `\sqrt{125}-\sqrt{5}`
= `\sqrt{5×5×5}-\sqrt{5}`
= `5\sqrt{5}-\sqrt{5}`
= `5\sqrt{5}`
= `\sqrt{80}`
(v) (5-√3)(√3-1)(5+√3)(√3+1) এর গুনফল
(a) 22
(b) 44
(c) 2
(d) 11
Ans:(b) 44
সমাধানঃ
(5-√3)(√3-1)(5+√3)(√3+1)
= (5-√3)(5+√3)(√3-1)(√3+1)
= {5 2 – (√3)2}{(√3)2-1}
= (25-3)(3-1)
=22×2
=44
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ।
(i) √75 এবং √147 দুটি সদৃশ করণী ।
উত্তরঃ সত্য ।
`\sqrt{75}=5\sqrt{3}`
`\sqrt{147}= 7\sqrt{3}`
অর্থাৎ প্রদত্ত করনী দুটি সদৃশ
(ii) `\sqrt{π}` একটি দ্বিঘাত করণী ।
উত্তর : `\sqrt{π}` একটি দ্বিঘাত করণী নয়
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) 5√11 একটি ____________ সংখ্যা ।
উত্তরঃ অমূলদ
(ii) (√3 -5 ) এর অনুবন্ধী করণী _______ ।
উত্তরঃ (-√3-5)
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় ______ করণী ।
উত্তরঃ অনুবন্ধী
11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ
(i) x = 3+ 2√2 হলে , x + 1 এর মান কত ?
সমাধান : `x=3+2\sqrt{2}`
বা,`\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}× \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3)^2-(2\sqrt{2})^2}`
বা, `\frac{1}{x}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}`
বা, `\frac{1}{x}=3-2\sqrt{2}`
∴ `(x+\frac{1}{x})=(3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2})`
বা, `(x+\frac{1}{x})=6`
∴ `(x+\frac{1}{x})=6` [Ans.]
(ii) (√15 +√3) এবং (√10+√8 ) – এর মধ্যে কোনটি বড় লিখি ।
সমাধানঃ
(√15 +√3)2 = (√15)2+2.√15.√3 + (√3)2
= 15+2√45+3
= 18+2√45
(√10+√8 )2 = (√10)2+2.√10.√8 +(√8)2
= 10+2√80 + 8
= 18+2√80
এখন ,18+2√80>18+2√45 [ যেহেতু ,√80 > √45 ]
∴ (√10+√8 )2 > (√15 +√3)2
∴ (√10+√8 ) > (√15 +√3)
∴ (√10+√8 ) -এই দ্বিঘাত করণীটি বড় ।
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা হবে ।
সমাধানঃ
(√3+2) এবং (√3-2) হল দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী যাদের গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা ।
(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে?
সমাধানঃ
ধরি √72 থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে ।
∴ √72-x=√32
বা, x=√72-√32
বা, x= 6√2 – 4√2
বা, x=2√2
∴ √72 থেকে 2√2 বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে ।
(v) `{\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}` এর সরলতম মান লিখি।
সমাধান : `{\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}`
= `{\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}}`
= `{\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-(1)^2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2-(\sqrt{3})^2}}`
= `{\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}}`
= `\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}`
= `\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}`
= -1+2
=1
∴নির্ণেয় সরলতম মান হল 1
Note: এই আর্টিকেলের ব্যাপারে তোমার মতামত জানাতে নীচে দেওয়া কমেন্ট বক্সে গিয়ে কমেন্ট করতে পারো। ধন্যবাদ।