Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 Madhyamik Mathematics Solution WBBSE । দ্বিঘাত করণী কষে দেখি ৯.৩

এই আর্টিকেলে আমরা মাধ্যমিক গণিত সমাধান Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 নিয়ে এসেছি। Class 10 Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 Answer solve | Class X Dighat Koroni Koshe Dekhi 9.3 | মাধ্যমিক গণিতের নবম অধ্যায় দ্বিঘাত করণী কষে দেখি ৯.২ থেকে সমস্ত প্রশ্ন ও উত্তর নিয়ে এখানে আলোচনা করা হয়েছে। মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ বইয়ের সমস্ত অধ্যায়ের উত্তর পেতে এই লিঙ্কে ক্লিক করো

দ্বিঘাত করণী (Dighat Koroni)

কষে দেখি ৯.

1(a) `m+\frac{1}{m}=\sqrt{3}`

(i) `m^2+\frac{1}{m^2}`

(ii) `m^3+\frac{1}{m^3}`

-এদের মান নির্ণয় করি

উত্তর : (i) `m^2+\frac{1}{m^2}`

= `(m+\frac{1}{m})^2-2.m.\frac{1}{m}`

= `(\sqrt{3})^2-2` [যেহেতু , `(m+\frac{1}{m})=\sqrt{3}`]

= 3-2

= 1 [Ans.]

(ii) `m^3+\frac{1}{m^3}`

= `(m+\frac{1}{m})^3-3.m.\frac{1}{m}(m+\frac{1}{m})`

= `(\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}` [যেহেতু , `(m+\frac{1}{m})=\sqrt{3}`]

=`3\sqrt{3}-3\sqrt{3}`

= 0 [Ans.]

1(b) দেখাই যে,

`\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}`

উত্তর : `\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}`

= `\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}`

= `\frac{4.\sqrt{5}.\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} [∵ (a+b)^2 – (a-b)^2 =4ab]`

= `\frac{4.\sqrt{5}.\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}`

= `\frac{4\sqrt{15}}{5-3}`

= `\frac{4\sqrt{15}}{2}`

= `2\sqrt{15}`

∴ `\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=2\sqrt{15}` [Proved].

2. সরল করি :

(a) `\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}-\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}`

উত্তর : `\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}-\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}`

= `\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)-\sqrt{2}(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}`

= `\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{3}+3-2-\sqrt{3})-\sqrt{2}(2\sqrt{3}-3+2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}}`

= `\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}(3-1)}`

= `\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}`

= `\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}`

= `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}`

= `\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

= `\frac{\sqrt{6}}{3}` [Ans.]

2.(b) `\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}`

উত্তর : `\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}`

= `\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}-\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}`

= `\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}}-\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{35})}{{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{7})^2}}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}}` [যেহেতু, `a^2-b^2=(a+b)(a-b)`]

= `\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{5-2}-\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{35})}{2-7}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{7-5}`

= `\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{3}-\frac{5(\sqrt{10}-\sqrt{35})}{-5}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{2}`

= `(\sqrt{35}-\sqrt{14})+(\sqrt{10}-\sqrt{35})+(\sqrt{14}-\sqrt{10})`

= `\sqrt{35}-\sqrt{14}+\sqrt{10}-\sqrt{35}+\sqrt{14}-\sqrt{10}`

= 0 [Ans.]

2.(c) `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}`

উত্তর : `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}`

= `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-\sqrt{3×3×2}}-\frac{\sqrt{3×3×2}}{3-\sqrt{2×2×3}}`

= `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{3-2\sqrt{3}}`

= `\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}×\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}-\frac{30}{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}×\frac{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{3-2\sqrt{3}}×\frac{3+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

= `\frac{4(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{(2)^2-(\sqrt{2})^2}-\frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(4\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{(3)^2-(2\sqrt{3})^2}`

= `\frac{4(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{4-2}-\frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{48-18}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{9-12}`

= `\frac{4(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{2}-\frac{30(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{30}-\frac{3(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})}{-3}`

=`2(2\sqrt{3}+\sqrt{6})-(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})+(3\sqrt{2}+2\sqrt{6})`

= `4\sqrt{3}+2\sqrt{6}-4\sqrt{3}-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{6}`

= `4\sqrt{6}` [Ans.]

2.(d) `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}`

উত্তর : `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}`

= `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+6}×\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}}`

= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{3-6}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6-2}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{2-3}`

= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{-3}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{4}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{-1}`

= `-(\sqrt{6}-\sqrt{12})-(\sqrt{18}-\sqrt{6})-(\sqrt{12}-\sqrt{18})`

=` -\sqrt{6}+\sqrt{12}-\sqrt{18}+\sqrt{6}-\sqrt{12}+\sqrt{18}`

= 0 [Ans.]

3. যদি x=2, y=3 এবং z=6 হয়, তবে, `\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}` – এর মান হিসেব করে লিখি

= `\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}`

= x ,yএবং z এর মান বসিয়ে পাই

= `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}`

= `\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2}}`

= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{3-6}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6-2}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{2-3}`

= `\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{12})}{-3}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{4}+\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{18})}{-1}`

= `-(\sqrt{6}-\sqrt{12})-(\sqrt{18}-\sqrt{6})-(\sqrt{12}-\sqrt{18})`

= `-\sqrt{6}+\sqrt{12}-\sqrt{18}+\sqrt{6}-\sqrt{12}+\sqrt{18}`

= 0 [Ans.]

4. `x=\sqrt{7}+\sqrt{6}` হলে,

(i) `x-\frac{1}{x}`

(ii) `x+\frac{1}{x}`

(iii) `x^2+\frac{1}{x^2}`

(iv) `x^3+\frac{1}{x^3}`

এর সরল তম মান নির্ণয় কর

(i) `x-\frac{1}{x}`

উত্তর : `x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`

= `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`

= `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

= `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`

= `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`

= `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

= ∴ `(x-\frac{1}{x})`

= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})-(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

= `\sqrt{7}+\sqrt{6}-\sqrt{7}+\sqrt{6}\sqrt{7}+\sqrt{6}-\sqrt{7}+\sqrt{6}`

= `2\sqrt{6}` [Ans.]

(ii) `x+\frac{1}{x}`

উত্তর :

`x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`

বা, `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

∴ `x+\frac[1}{x}`

= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

= `\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6}`

= `2\sqrt{7}` [Ans.]

(iii) `x^2+\frac{1}{x^2}`

`x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`

বা, `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

এবং `x+\frac{1}{x}`

= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

= `\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6}`

= `2\sqrt{7}`

∴ `(x^2+\frac{1}{x^2})`

= `(x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}`

= `(2\sqrt{7})^2-2`

= 28-2

= 26 [Ans.]

(iv) `x^3+\frac{1}{x^3}`

উত্তর : `x=\sqrt{7}+\sqrt{6}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}` [হরের করণী নিরসন করে পাই]

বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{6})^2}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{7-6}`

বা, `\frac{1}{x}=(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

এবং, `x+\frac[1}{x}`

= `(\sqrt{7}+\sqrt{6})+(\sqrt{7}-\sqrt{6})`

= `\sqrt{7}+\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{6}`

= `2\sqrt{7}`

∴ `x^3+\frac{1}{x^3}`

= `(x+\frac{1}{x})^3-3.x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})`

= `(2\sqrt{7})^3-3(2\sqrt{7})`

= `56\sqrt{7}-6\sqrt{7}`

= `50\sqrt{7}` [Ans.]

5. সরল করি : `\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}`

সরলফল 14 হলে x এর মান কি কি হিসেব করে লিখি।

সমাধান : `\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}`

= `\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x-\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})}`

= `\frac{2{x^2+(\sqrt{x^2-1})^2}}{x^2-(\sqrt{x^2-1})^2}`

= `\frac{2(x^2+x^2-1)}{x^2-(x^2-1)}`

= `\frac{2(2x^2-1)}{x^2-x^2+1}`

= `4x^2-2`

যেহেতু প্রদত্ত রাশিটির সরলতম মান 14

∴ `4x^2-2=14`

বা, `4x^2=14+2`

বা, `4x^2=16`

বা, `x^2=\frac{16}{4}`

বা, `x^2=4`

বা, x = ± √4

বা, x = ±2  

∴ x এর মান ± 2  

6. যদি `a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}`ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`হয় তবে নীচের মান গুলি নির্ণয় করো।

(i) `\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}`

(ii) `\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}`

(iii) `\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}`

(iv) `\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}`

সমাধান : `a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}` ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`

∴ `a+b = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`

= `\frac{(\sqrt{5}+1)^2+(\sqrt{5}-1)^2}{{(\sqrt{5})^2-1^2}}`

= `\frac{2{(\sqrt{5})^2+1^2}}{5-1}`

= `\frac{2(5+1)}{4}`

= `\frac{12}{4}`

= 3

`a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}` ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`

`∴ (a-b) = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`

= `\frac{(\sqrt{5}+1)^2-(\sqrt{5}-1)^2}{{(\sqrt{5})^2-1^2}}`

= `\frac{4.\sqrt{5}.1}{(5-1)}`

= `\frac{4.\sqrt{5}.1}{4}`

= `\sqrt{5}`

`a=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}` ও `b=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`

`∴ ab = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}×\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}`

বা, ab=1

(i) `\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}`

সমাধান : `\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}`

= `\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a^2-2ab+b^2+ab}`

= `\frac{(a+b)^2-ab}{(a-b)^2+ab}`

= `\frac{(3)^2-1}{(\sqrt{5})^2+1}` [ মান বসিয়ে পাই ]

= `\frac{9-1}{5+1}`

= `\frac{8}{6}`

= `\frac{4}{3}` [Ans.]

= (1 পূর্ণ `\frac{1}{3}`)উত্তর

(ii) `\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}`

সমাধান : `\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}`

= `\frac{(\sqrt{5})^3}{(3)^3}` [ মান বসিয়ে পাই ]

= `\frac{5\sqrt{5}}{27}` [Ans.]

(iii) `\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}`

সমাধান : `\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}`

= `\frac{3a^2+6ab+3b^2-ab}{3a^2-6ab+3b^2+ab}`

= `\frac{3(a^2+2ab+b^2)-ab}{3(a^2-2ab+b^2)+ab}`

= `\frac{3(a+b)^2-ab}{3(a-b)^2+ab}`

= `\frac{3(3)^2-1}{3(\sqrt{5})^2+1}`

= `\frac{27-1}{15+1}`

= `\frac{26}{16}`

= `\frac{13}{8}`

= `1\frac{5}{8}` [Ans.]

(iv) `\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}`

সমাধান : `\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}`

= `\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{(a-b)^3+3ab(a+b)}`

= `\frac{(3)^3-3(1)(3)}{(\sqrt{5})^3+3(1)(\sqrt{5})}`

= `\frac{27-9}{5\sqrt{5}+3\sqrt{5}}`

= `\frac{18}{18\sqrt{5}}`

= `\frac{9}{4\sqrt{5}}`

= `\frac{9×\sqrt{5}}{4\sqrt{5}×\sqrt{5}}` [ হরের করণী নিরসন করে পাই ]

= `\frac{9\sqrt{5}}{20}` [Ans.]

7. যদি `x=2+\sqrt{3}` এবং `y=2-\sqrt{3}` হয় তবে নিম্নলিখিত গুলির সরলতম মান নির্ণয় কর।

(a)(i) `x-\frac{1}{x}`

(ii) `y^2+\frac{1}{y^2}`

(iii) `x^3-\frac{1}{x^3}`

(iv) `xy+\frac{1}{xy}`

(v) `3x^2-5xy+3y^2`

সমাধান : `x=2+\sqrt{3}`

∴ `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}× \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}`

বা, `\frac{1}{x}= \frac{2-\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}`

বা, `\frac{1}{x}= \frac{2-\sqrt{3}}{4-3}`

বা, `\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}`

আবার, `y=2-\sqrt{3}`

∴ `\frac{1}{y}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}`

বা, `\frac{1}{y}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}× \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}`

বা, `\frac{1}{y}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}`

বা, `\frac{1}{y}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}`

বা, `\frac{1}{y}=2+\sqrt{3}`

(a)(i) `x-\frac{1}{x}`

`x-\frac{1}{x}`

= `(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})` [মান বসিয়ে পাই ]

= `2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}`

= `2\sqrt{3}` [Ans.]

(ii) `y^2+\frac{1}{y^2}`

`y^2+\frac{1}{y^2}`

= `(y+\frac{1}{y})^2-2.y.\frac{1}{y}`

= `(y+\frac{1}{y})^2-2`

= `(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3})^2-2` [মান বসিয়ে পাই ]

= `(4)^2-2`

= 16-2

= 14 [Ans.]

(iii) `x^3-\frac{1}{x^3}`

`x-\frac{1}{x}`

= `(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})` [মান বসিয়ে পাই ]

= `2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}`

= `2\sqrt{3}`

∴ `x^3-\frac{1}{x^3}`

= `(x-\frac{1}{x})^3+3.x.\frac{1}{x}(x-\frac{1}{x})`

= `(2\sqrt{3})^3+3(2\sqrt{3})`

= `24\sqrt{3}+6\sqrt{3}`

= `30\sqrt{3}` [Ans.]

(iv) `xy+\frac{1}{xy}`

`x=2+\sqrt{3}` এবং `y=2-\sqrt{3}`

∴ `xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})`

= `(2)^2-(\sqrt{3})^2`

= 4-3 =1

∴ `xy+\frac{1}{xy}`

= 1+1

= 2 [Ans.]

(v) `3x^2-5xy+3y^2`

`x=2+\sqrt{3}` এবং `y=2-\sqrt{3}`

∴ `xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})`

= `(2)^2-(\sqrt{3})^2`

= 4-3 = 1

এবং `xy={(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})}`

= `xy={(2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3})}=2\sqrt{3}`

∴ `3x^2-5xy+3y^2`

= `3x^2-6xy+3y^2+xy`

= `3(x^2-2xy+y^2)+xy`

= `3(x-y)^2+xy`

= 3(2\sqrt{3})^2+1 [মান বসিয়ে পাই ]

= 36+1

= 37 [Ans.]

(8). `x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}` এবং xy=1 হলে দেখাই যে `\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}=\frac{12}{11}`

সমাধান : `x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}`

এবং xy=1

∴ `y=\frac{1}{x}`

বা, `y= \frac{1}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}`

বা, `y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}`

∴ `(x+y)=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}`

= `\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}`

= `\frac{2{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{3})^2}}{(7-3)}` [যেহেতু `(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)`]

= `\frac{2(7+3)}{4}`

= `\frac{20}{4}`

= 5

আবার, `xy=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}`

∴ `xy=1`

∴ `\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}`

= `\frac{x^2+2xy+y^2-xy}{x^2-xy+y^2-3xy}`

= `\frac{(x+y)^2-xy}{(x+y)^2-3(xy)}`

=`\frac{(5)^2-1}{(5)^2-3(1)}`

= `\frac{25-1}{25-3}`

= `\frac{24}{22}`

= `\frac{12}{11}` [Proved]

9. (√7 +1) এবং (5+3) এর মধ্যে কোনটি বড় লিখি ।

সমাধান : (√7 +1)2

= (√7)2 +2.√7 .1 +(1)2

= 7 +2√7 + 1

= 8 + 2√7  

আবার ,

(√5+√3)2

= (√5 )+ 2. √5 . √3 +(√3)2

= 5 +2√15 + 3

= 8 +2√15

এখন , 8 +2√15 > 8 + 2√7  [∵√15 >√7 ⇒2√15 >2√7 ]   

∴ (√5+√3)2  > (√7 +1)2

∴ (√5+√3) > (√7 +1)

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) x = 2+√3 হলে, (`\frac{x+1}{x}`) এর মান

(a) 2

(b) 2√3

(c) 4

(d) 2-√3

Ans: (c) 4

সমাধান : `x=2+\sqrt{3}`

∴ `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}×\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{2-\sqrt{3}}{2^2-(\sqrt{3})^2}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}`

বা, `\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}`

∴ `x+\frac{1}{x}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}`

= 4

∴ `(x+\frac{1}{x})=4`

(ii) p+q = √13 এবং p-q = √5 হয়, তাহলে pq এর মান

(a) 2

(b) 18

(c) 9

(d) 8

Ans: (a) 2

সমাধান : `pq=(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2`

= `(\frac{\sqrt{13}}{2})^2-(\frac{\sqrt{5}}{2})^2`

= `\frac{13}{2}-\frac{5}{2}`

= `\frac{8}{4}`

= 2

(iii) যদি a+b = √5 এবং a-b = √3 হয় , তাহলে (a2+b2) এর মান

(a) 8

(b) 4

(c) 2

(d) 1

Ans:(b) 4

সমাধান : `ab=(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{a-b}{2})^2`

=`(\frac{\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2`

= `\frac{5}{4}-\frac{3}{4}`

= `\frac{2}{4}`

= `\frac{1}{2}`

∴ `(a^2+b^2)`

=`(a+b)^2-2ab`

= `(\sqrt{5})^2-2.\frac{1}{2}`

= 5-1

=4

(iv) √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে

(a) √80

(b) √120

(c) √100

(d) কোনোটিই নয়

Ans:(a) √80

সমাধান : `\sqrt{125}-\sqrt{5}`

= `\sqrt{5×5×5}-\sqrt{5}`

= `5\sqrt{5}-\sqrt{5}`

= `5\sqrt{5}`

= `\sqrt{80}`

(v) (5-√3)(√3-1)(5+√3)(√3+1) এর গুনফল

(a) 22

(b) 44

(c) 2

(d) 11

Ans:(b) 44

সমাধানঃ

(5-√3)(√3-1)(5+√3)(√3+1)

= (5-√3)(5+√3)(√3-1)(√3+1)

= {5 2 – (√3)2}{(√3)2-1}

= (25-3)(3-1)

=22×2

=44

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি ।

(i) √75 এবং √147 দুটি সদৃশ করণী ।

উত্তরঃ সত্য ।

`\sqrt{75}=5\sqrt{3}`

`\sqrt{147}= 7\sqrt{3}`

অর্থাৎ প্রদত্ত করনী দুটি সদৃশ

(ii) `\sqrt{π}` একটি দ্বিঘাত করণী ।

উত্তর : `\sqrt{π}` একটি দ্বিঘাত করণী নয়

∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) 5√11 একটি ____________ সংখ্যা ।

উত্তরঃ অমূলদ

(ii) (√3 -5 ) এর অনুবন্ধী করণী _______ ।

উত্তরঃ (-√3-5)

(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় ______ করণী ।

উত্তরঃ অনুবন্ধী

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্নঃ

(i) x = 3+ 2হলে , x + 1 এর মান কত ?

সমাধান : `x=3+2\sqrt{2}`

বা,`\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}× \frac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3)^2-(2\sqrt{2})^2}`

বা, `\frac{1}{x}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}`

বা, `\frac{1}{x}=3-2\sqrt{2}`

∴ `(x+\frac{1}{x})=(3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2})`

বা, `(x+\frac{1}{x})=6`

∴ `(x+\frac{1}{x})=6` [Ans.]

(ii) (√15 +√3) এবং (√10+√8 ) – এর মধ্যে কোনটি বড় লিখি ।

সমাধানঃ

(√15 +√3)= (√15)2+2.√15.√3 + (√3)2

= 15+2√45+3

= 18+2√45

(√10+√8 )2 = (√10)2+2.√10.√8 +(√8)2

= 10+2√80 + 8

= 18+2√80

এখন ,18+2√80>18+2√45 [ যেহেতু ,√80 > √45 ]

∴ (√10+√8 )2 > (√15 +√3)2

∴ (√10+√8 ) > (√15 +√3)

∴ (√10+√8 ) -এই দ্বিঘাত করণীটি বড় ।

(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা হবে ।

সমাধানঃ

(√3+2) এবং (√3-2) হল দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী যাদের গুনফল একটি মূলদ সংখ্যা ।

(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে?

সমাধানঃ

ধরি √72 থেকে x বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে ।

∴ √72-x=√32

বা, x=√72-√32

বা, x= 6√2 – 4√2

বা, x=2√2

∴ √72 থেকে 2√2 বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে ।

(v) `{\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}` এর সরলতম মান লিখি।

সমাধান : `{\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}`

= `{\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})}}`

= `{\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-(1)^2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2-(\sqrt{3})^2}}`

= `{\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}}`

= `\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}`

= `\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}`

= -1+2

=1

∴নির্ণেয় সরলতম মান হল 1

Note: এই আর্টিকেলের ব্যাপারে তোমার মতামত জানাতে নীচে দেওয়া কমেন্ট বক্সে গিয়ে কমেন্ট করতে পারো। ধন্যবাদ।

Leave a Comment